Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому алгоритм Дейкстри може давати неправильні результати, коли деякі ваги ребер від'ємні?

  1. AВін зациклюється на кожному від'ємному ребрі
  2. BВід'ємні числа неможливо зберігати в черзі з пріоритетами
  3. CВершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
  4. DВін працює лише на неорієнтованих графах
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AЗберігання ключів у порядку вставлення
  2. BПошук за сталий час у будь-якому випадку
  3. CВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  4. DЩо жоден вузол не має двох дітей
4.Структури данихСкладна

Яка пара обходів завжди однозначно визначає бінарне дерево з різними ключами?

  1. AЛише обхід по рівнях
  2. BЛише прямий обхід
  3. CПрямий і симетричний обходи
  4. DПрямий і зворотний обходи
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 32 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
14513341555ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n²)

Чому це відповідь

Сумарна робота становить близько n² / 2; це рекурентне співвідношення сортування вибором або швидкого сортування з найгіршим опорним елементом.

Відповідь

A · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях

Чому це відповідь

Жадібний крок спирається на невід'ємні ваги, щоб вилучені відстані були остаточними; коли ваги можуть бути від'ємними, використовують Беллмана–Форда.

Відповідь

C · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
3.Структури даних

Відповідь: C · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

C · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: C · Прямий і симетричний обходи

Чому це відповідь

Прямий обхід дає корінь, а його позиція в симетричній послідовності розділяє ліве й праве піддерева; прямий обхід разом зі зворотним неоднозначний, коли вузол має одну дитину.

Відповідь

C · Прямий і симетричний обходи
5.Теорія графів

Відповідь: L = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Відповідь

L = 11

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 22

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): C: 14
C (14): B: 19, E: 17
E (17): D: 21, F: 22
B (19)
D (21)
F (22)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 22

Відповідь

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms