Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що обчислює алгоритм Флойда–Воршелла і як швидко?

  1. AНайкоротші шляхи від однієї початкової вершини до всіх інших за O(V + E)
  2. BНайкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
  3. CМінімальне кістякове дерево за O(E log V)
  4. DТопологічний порядок за O(V²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача про рюкзак 0/1, розв'язана динамічним програмуванням, потребує O(nW) часу. Чому це називають псевдополіноміальним часом?

  1. AТому що він працює лише для W = 0
  2. BW — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
  3. CТому що n завжди мале
  4. DТому що алгоритм рандомізований, а його час роботи змінюється для кожних вхідних даних
3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B24
  3. C11
  4. D10
4.Структури данихСкладна

Яка вартість однієї операції find у найгіршому випадку в структурі union-find з n елементами без об'єднання за рангом і стиснення шляхів?

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 14 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 14
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки замкнених маршрутів довжиною 2 починаються й закінчуються в F? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)

Чому це відповідь

Флойд–Воршелл — алгоритм динамічного програмування, що по черзі дозволяє кожну вершину як проміжну, витрачаючи O(V³) часу.

Відповідь

B · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

Чому це відповідь

Час роботи поліноміальний відносно значення W, але експоненційний відносно його довжини (log W бітів); задача про рюкзак 0/1 є NP-повною.

Відповідь

B · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
3.Структури даних

Відповідь: A · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

A · 14
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Наївні об'єднання можуть зв'язати дерева в довгий ланцюжок, тож find може пройти n − 1 вказівників на батька; дві евристики роблять вартість майже сталою.

Відповідь

D · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 14 − 11 = 3

Відповідь

k = 3
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Спільні сусіди

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms