Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм знаходить найкоротші шляхи з одного джерела в графі з невід'ємними вагами ребер?

  1. AУ всіх випадках потрібен алгоритм Беллмана–Форда
  2. BПошук у глибину (DFS)
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DАлгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(log n) на інкремент
  2. BO(1) на інкремент
  3. CO(n) на інкремент
  4. DO(n log n) на інкремент
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  2. BВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  3. CШукають новий мінімум серед усіх листків
  4. DВидаляють останній елемент масиву
4.Структури данихСкладна

Алгоритм Кана для топологічного сортування раз у раз видаляє вершини з напівстепенем входу 0. Яка структура зберігає ці вершини?

  1. AМакс-купа, упорядкована за напівстепенем виходу
  2. BСтек усіх відвіданих ребер
  3. CЧерга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
  4. DМатриця суміжності, що фіксує, які вершини вже видалено
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
5631521936510ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 6; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Алгоритм Дейкстри

Чому це відповідь

Алгоритм Дейкстри працює з невід'ємними вагами; алгоритм Беллмана–Форда допускає від'ємні ваги; алгоритм Краскала будує мінімальні кістякові дерева.

Відповідь

D · Алгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

B · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: A · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

A · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: C · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0

Чому це відповідь

Готові вершини зберігаються в черзі; видалення однієї зменшує напівстепені входу її сусідів, і ті, що досягли 0, додаються, що дає час O(V + E).

Відповідь

C · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
5.Теорія графів

Відповідь: L = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

Відповідь

L = 11

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: F

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 5, C: 6
2. B (5): D: 20, G: 8
3. C (6)
4. G (8): D: 13, E: 18
5. D (13): E: 15, F: 14
6. F (14)
7. E (15)

раунд 6

F

Відповідь

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms