Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 7y′ + 10y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 6. Знайдіть y(2).

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 6

y(2) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Система підпорядковується y″ + 2y′ + 17y = 17 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення y_max її відгуку на одиничний стрибок.

y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂⁶ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 6]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Область між прямою y = 3x і параболою y = 3x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 3xy = 3x²

V =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (3x − 3)⁵. Знайдіть f′(−1).

f(x) = (3x − 3)⁵x = −1

f′(−1) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = x² + 2x + 1 у точці x = 2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = x² + 2x + 1x = 2

b =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀² sin(x²) dx за формулою трапецій з n = 6 смугами. Дайте T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 6

T =

8.Чисельні методиСкладна

Розв’яжіть y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 методом Ейлера з кроком h = 0,25 до t = 0,75. Точний розв’язок — y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(0,75) − y₃|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,25

|E| =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 0,189

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичні корені

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

Сталі за початковими значеннями

A + B = 5, −2A − 5B = 6

A = 10,33, B = −5,333

Обчисліть

y(2) = 10,33·e⁻⁴ + (−5,333)·e⁻¹⁰ = 0,189

Відповідь

y(2) = 0,189

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y_max = 1,456

Усталене значення та корені

y_ss = 1, r = −1 ± 4j

Сталі за початковими значеннями

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0,25

Пік

t = π/4 = 0,7854

y_max = 1·(1 + e^−1·π/4) = 1,456

Відповідь

y_max = 1,456

3.Інтеграли

Відповідь: I = 1,099

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = ln x

Підставте межі

I = (ln 6 − ln 2) = ln 3 = 1,099

Відповідь

I = 1,099

4.Інтеграли

Відповідь: V = 3,77

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Метод шайб

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Відповідь

V = 3,77

5.Похідні

Відповідь: f′(−1) = 19440

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 5·(3x − 3)⁴·3

Підставте

f′(−1) = 5·(−6)⁴·3 = 19440

Відповідь

f′(−1) = 19440

6.Похідні

Відповідь: b = −3

Точка і нахил

f(2) = 9

f′(x) = 2x + 2 → f′(2) = 6

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − 6·2 = −3

Відповідь

b = −3

7.Чисельні методи

Відповідь: T = 0,7795

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 0,3333

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,110883 + 2·0,429956 + 2·0,841471 + 2·0,978656 + 2·0,355842 − 0,756802 = 4,676813

Формула трапецій

T = (0,3333/2)·4,676813 = 0,7795

Відповідь

T = 0,7795

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,03684

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₃ = 1,161197

Точне значення

y(0,75) = 1,198042

Глобальна похибка

|E| = |1,198042 − 1,161197| = 0,03684

Графік

Відповідь

|E| = 0,03684

Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations