Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 82 °C залишили в кімнаті з температурою 22 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,11 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 23 min.

T₀ = 82 °CT_a = 22 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 23 min

T = °C

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 1000 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 2 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 41 kg солі?

V = 1000 Lm₀ = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁^2,5 x·ln x dx.

∫₁^2,5 x ln x dx

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 6x² + 2. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 6x² + 2

x =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀¹ x³ dx за формулою трапецій, n = 2, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Чисельні методиСкладна

Розв’яжіть y′ = y − t², y(0) = 3 методом Ейлера з кроком h = 0,2 до t = 0,8. Точний розв’язок — y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(0,8) − y₄|.

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,2

|E| =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: T = 26,78 °C

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Розв’язок закону охолодження

T(t) = 22 + 60·e^−0,11t

Підставте t

T(23) = 22 + 60·0,07966 = 26,78 °C

Відповідь

T = 26,78 °C

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 804,7 min

Результат

m(t) = 50 + (−45)·e^−t/500

Розв’яжіть щодо t

e^−t/500 = (50 − 41)/(50 − 5) = 0,2

t = 500·ln(5) = 804,7 min

Відповідь

t = 804,7 min

3.Інтеграли

Відповідь: I = 1,551

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первісна

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Границі

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Відповідь

I = 1,551

4.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333

5.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = −1,926

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Відповідь

f′(1,5) = −1,926

6.Похідні

Відповідь: x = 4

Похідна

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 0 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 12: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

Відповідь

x = 4

7.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,0625

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Точне значення

I = 0,25

Формула трапецій

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Похибка

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Відповідь

|E| = 0,0625

Відносна похибка: 25 %.

8.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,3667

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₄ = 6,09888

Точне значення

y(0,8) = 6,465541

Глобальна похибка

|E| = |6,465541 − 6,09888| = 0,3667

Графік

Відповідь

|E| = 0,3667

Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations