Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 6y′ + 9y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 1. Знайдіть y(1).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(1) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 3y = 10e^−2t при y(0) = 2. Знайдіть y(0,5).

y′ + 3y = 10e^−2ty(0) = 2

y(0.5) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 2x² і y = x.

y = 2x²y = x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·e^2x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x·e^2xx = 1

f′(1) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ + 9x² + 24x. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ + 9x² + 24x

x =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀³ √x·e^−x dx за формулою трапецій з n = 4 смугами. Дайте T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 4

T =

8.Чисельні методиСкладна

Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,5

y₁ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1) = 0,2489

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Подвійний корінь

(r + 3)² = 0 → r = −3

Сталі

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 3A → B = 1 + 3 = 4

Обчисліть

y(1) = (1 + 4·1)·e⁻³ = 0,2489

Відповідь

y(1) = 0,2489

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.5) = 1,894

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Інтегрувальний множник

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 10e^t

Загальний розв’язок

y = 10/1·e^−2t + C·e^−3t = 10·e^−2t + C·e^−3t

Початкова умова

2 = 10 + C → C = −8

Обчисліть

y(0,5) = 10·0,3679 + (−8)·0,2231 = 1,894

Відповідь

y(0,5) = 1,894

3.Інтеграли

Відповідь: I = 0,8647

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^−x/(−1)

Підставте межі

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Відповідь

I = 0,8647

4.Інтеграли

Відповідь: A = 0,04167

Точки перетину

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Відповідь

A = 0,04167

5.Похідні

Відповідь: f′(1) = 22,17

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Підставте

f′(1) = 7,389·(1 + 2) = 22,17

Відповідь

f′(1) = 22,17

6.Похідні

Відповідь: x = −2

Похідна

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −4 або x = −2

Що є що

f″(x) = 6x + 18: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −2

Відповідь

x = −2

7.Чисельні методи

Відповідь: T = 0,6627

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,409081 + 2·0,273278 + 2·0,158099 + 0,0862337 = 1,767149

Формула трапецій

T = (0,75/2)·1,767149 = 0,6627

Відповідь

T = 0,6627

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: y₁ = 1,108

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Чотири нахили

k₁ = f(0, 0,5) = 1

k₂ = f(0,25, 0,75) = 1,186403

k₃ = f(0,25, 0,796601) = 1,197836

k₄ = f(0,5, 1,098918) = 1,522226

Об’єднайте

y₁ = 0,5 + (0,5/6)(1 + 2·1,186403 + 2·1,197836 + 1,522226) = 1,108

Відповідь

y₁ = 1,108

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations