Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 6y′ + 5y = 0 при y(0) = 5 і y′(0) = 1. Знайдіть y(1).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(1) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y″ + y′ + 25,25y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1,5); кути в радіанах.

y″ + y′ + 25,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1.5) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁⁴ x·ln x dx.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(3x² + 1). Знайдіть f′(2).

f(x) = ln(3x² + 1)x = 2

f′(2) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 1,5x² − 6x + 2. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 1,5x² − 6x + 2

x =

7.Чисельні методиСередня

Формулу трапецій застосовують до ∫₀² sin x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 2]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,001

n =

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Хойна (вдосконаленим методом Ейлера) з h = 0,5 для y′ = y − t², y(0) = 2, щоб оцінити y₃ ≈ y(1,5).

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,5

y₃ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1) = 2,381

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичні корені

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Сталі за початковими значеннями

A + B = 5, −1A − 5B = 1

A = 6,5, B = −1,5

Обчисліть

y(1) = 6,5·e⁻¹ + (−1,5)·e⁻⁵ = 2,381

Відповідь

y(1) = 2,381

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1.5) = 0,6241

Комплексні корені

r = −0,5 ± 5j

Сталі

A = 3, B = 0,5·3/5 = 0,3

Обчисліть

y(1,5) = e^−0,75(3·cos 7,5 + 0,3·sin 7,5) = 0,6241

Відповідь

y(1,5) = 0,6241

3.Інтеграли

Відповідь: I = 7,34

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первісна

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Границі

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Відповідь

I = 7,34

4.Інтеграли

Відповідь: A = 4,5

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

x² = 3x → x = 0, x = 3

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Відповідь

A = 4,5

5.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,9231

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Підставте

f′(2) = 12/13 = 0,9231

Відповідь

f′(2) = 0,9231

6.Похідні

Відповідь: x = −1

Похідна

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −1 або x = 2

Що є що

f″(x) = 6x − 3: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = −1

Відповідь

x = −1

7.Чисельні методи

Відповідь: n = 26

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Оцінка другої похідної

M = |sin(π/2)| = 1

Виразіть n

n² > 8·1/(12·0,001) = 666,7

n > 25,82 → n = 26

Відповідь

n = 26

8.Чисельні методи

Відповідь: y₃ = 6,921

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Хойна

y₁ = 2 + (0,5/2)(2 + 2,75) = 3,1875

y₂ = 3,1875 + (0,5/2)(2,9375 + 3,65625) = 4,835938

y₃ = 4,835938 + (0,5/2)(3,835938 + 4,503906) = 6,920898

Графік

y₃ = 6,921

Відповідь

y₃ = 6,921

Точне значення дорівнює y(1,5) = 7,25.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations