Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 92 °C залишили в кімнаті з температурою 21 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,08 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 13 min.

T₀ = 92 °CT_a = 21 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 13 min

T = °C

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 0,5y = 3e^−2t при y(0) = 1. Знайдіть y(0,5).

y′ + 0,5y = 3e^−2ty(0) = 1

y(0.5) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 4]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·e^0,5x. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 0,5x² + 4x + 1 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 0,5x² + 4x + 1x = 3

b =

7.Чисельні методиСередня

Швидкість транспортного засобу вимірюють кожні 10 с (таблиця). Оцініть пройдену відстань s від t = 0 до t = 50 с за формулою трапецій.

h = 10 sn = 5

s = m

8.Чисельні методиСкладна

Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: T = 46,1 °C

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Розв’язок закону охолодження

T(t) = 21 + 71·e^−0,08t

Підставте t

T(13) = 21 + 71·0,3535 = 46,1 °C

Відповідь

T = 46,1 °C

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.5) = 1,601

Інтегрувальний множник

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 3e^−1,5t

Загальний розв’язок

y = 3/(−1,5)·e^−2t + C·e^−0,5t = −2·e^−2t + C·e^−0,5t

Початкова умова

1 = −2 + C → C = 3

Обчисліть

y(0,5) = −2·0,3679 + 3·0,7788 = 1,601

Відповідь

y(0,5) = 1,601

3.Інтеграли

Відповідь: I = 4,159

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 4 − ln 1) = 3·ln 4 = 4,159

Відповідь

I = 4,159

4.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

5.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = 3,705

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Підставте

f′(1,5) = 2,117·(1 + 0,75) = 3,705

Відповідь

f′(1,5) = 3,705

6.Похідні

Відповідь: b = −3,5

Точка і нахил

f(3) = 17,5

f′(x) = x + 4 → f′(3) = 7

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17,5 − 7·3 = −3,5

Відповідь

b = −3,5

7.Чисельні методи

Відповідь: s = 550 m

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Зважена сума

6 + 2·10 + 2·9 + 2·11 + 2·14 + 16 = 110

Формула трапецій

s = (10/2)·110 = 550 m

Відповідь

s = 550 m

8.Чисельні методи

Відповідь: y₁ = 0,5434

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Чотири нахили

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,25, 0,25) = 1,062459

k₃ = f(0,25, 0,265615) = 1,066355

k₄ = f(0,5, 0,533177) = 1,263442

Об’єднайте

y₁ = 0 + (0,5/6)(1 + 2·1,062459 + 2·1,066355 + 1,263442) = 0,5434

Відповідь

y₁ = 0,5434

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations