Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 6y′ + 9y = 0 при y(0) = 2 і y′(0) = 1. Знайдіть y(0,5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(0.5) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Система підпорядковується y″ + 4y′ + 20y = 100 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення y_max її відгуку на одиничний стрибок.

y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁⁵ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Область між прямою y = 6x і параболою y = 3x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 6xy = 3x²

V =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(2x² + 2). Знайдіть f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −2

f′(−2) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 3x + 1. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 3x + 1

x =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀² 1/(1 + x³) dx за формулою Сімпсона з n = 2 смугами. Дайте S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 2

S =

8.Чисельні методиСкладна

Розв’яжіть y′ = t − y, y(0) = 1 методом Ейлера з кроком h = 0,5 до t = 1,5. Точний розв’язок — y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t. Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(1,5) − y₃|.

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,5

|E| =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.5) = 1,227

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Подвійний корінь

(r + 3)² = 0 → r = −3

Сталі

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = 1 + 6 = 7

Обчисліть

y(0,5) = (2 + 7·0,5)·e^−1,5 = 1,227

Відповідь

y(0,5) = 1,227

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y_max = 6,039

Усталене значення та корені

y_ss = 5, r = −2 ± 4j

Сталі за початковими значеннями

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −2,5

Пік

t = π/4 = 0,7854

y_max = 5·(1 + e^−2·π/4) = 6,039

Відповідь

y_max = 6,039

3.Інтеграли

Відповідь: I = 4,828

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Відповідь

I = 4,828

4.Інтеграли

Відповідь: V = 120,6

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Метод шайб

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Відповідь

V = 120,6

5.Похідні

Відповідь: f′(−2) = −0,8

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Підставте

f′(−2) = −8/10 = −0,8

Відповідь

f′(−2) = −0,8

6.Похідні

Відповідь: x = −1

Похідна

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −1 або x = 1

Що є що

f″(x) = 6x: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Відповідь

x = −1

7.Чисельні методи

Відповідь: S = 1,037

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 1

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,5 + 0,111111 = 3,111111

Формула Сімпсона

S = (1/3)·3,111111 = 1,037

Відповідь

S = 1,037

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,1963

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₃ = 0,75

Точне значення

y(1,5) = 0,94626

Глобальна похибка

|E| = |0,94626 − 0,75| = 0,1963

Графік

Відповідь

|E| = 0,1963

Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations