Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Кувану сталеву деталь температурою 500 °C залишили остигати в цеху з температурою 22 °C. Через 35 min її температура становить 140 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 63 °C?

T₀ = 500 °CT_a = 22 °CT(35) = 140 °CT = 63 °C

t = min

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 2y = 6e^−t при y(0) = 0. Знайдіть y(1,5).

y′ + 2y = 6e^−ty(0) = 0

y(1.5) =

3.ІнтегралиСередня

Область під y = x від x = 0 до x = 3 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = x0 ≤ x ≤ 3

V =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(3x² + 1). Знайдіть f′(−1).

f(x) = ln(3x² + 1)x = −1

f′(−1) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 2x² + 5x − 1 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x² + 5x − 1x = 1

b =

7.Чисельні методиСередня

Формулу трапецій застосовують до ∫₀¹ x³ dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 1]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,0005.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005

n =

8.Чисельні методиСкладна

Розв’яжіть y′ = −2ty, y(0) = 3 методом Ейлера з кроком h = 0,2 до t = 0,6. Точний розв’язок — y = y₀e^−t². Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(0,6) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,2

|E| =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 61,45 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(478/118)/35 = 0,03997 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(478/41)/0,03997 = 61,45 min

Відповідь

t = 61,45 min

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1.5) = 1,04

Інтегрувальний множник

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 6e^t

Загальний розв’язок

y = 6/1·e^−t + C·e^−2t = 6·e^−t + C·e^−2t

Початкова умова

0 = 6 + C → C = −6

Обчисліть

y(1,5) = 6·0,2231 + (−6)·0,04979 = 1,04

Відповідь

y(1,5) = 1,04

3.Інтеграли

Відповідь: V = 28,27

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀³ 1x² dx

Інтегруйте

V = π·1·3³/3 = 28,27

Відповідь

V = 28,27

Перевірка: конус радіуса 3 і висоти 3 має (1/3)πr²h = 28,27.

4.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

5.Похідні

Відповідь: f′(−1) = −1,5

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Підставте

f′(−1) = −6/4 = −1,5

Відповідь

f′(−1) = −1,5

6.Похідні

Відповідь: b = −3

Точка і нахил

f(1) = 6

f′(x) = 4x + 5 → f′(1) = 9

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 9·1 = −3

Відповідь

b = −3

7.Чисельні методи

Відповідь: n = 32

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Оцінка другої похідної

M = 6·1 = 6

Виразіть n

n² > 1·6/(12·0,0005) = 1000

n > 31,62 → n = 32

Відповідь

n = 32

8.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,2254

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₃ = 2,3184

Точне значення

y(0,6) = 2,093029

Глобальна похибка

|E| = |2,093029 − 2,3184| = 0,2254

Графік

Відповідь

|E| = 0,2254

Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations