Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 26 °C. Через 12 min її температура становить 18 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Через який час від початку, t, вона досягне 22 °C?

T₀ = 3 °CT_a = 26 °CT(12) = 18 °CT = 22 °C

t = min

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 1000 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 4 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 85 min?

V = 1000 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² x·sin x dx (x у радіанах).

∫₀² x·sin x dx

I =

4.ІнтегралиСкладна

Обчисліть I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(3x² + 2). Знайдіть f′(1).

f(x) = ln(3x² + 2)x = 1

f′(1) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 12x² + 45x + 6. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 12x² + 45x + 6

x =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀² 1/(1 + x³) dx за формулою трапецій з n = 3 смугами. Дайте T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 3

T =

8.Чисельні методиСкладна

Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = cos t − y, y(0) = 2. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5

y₁ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: t = 19,88 min

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Стала охолодження

k = ln(-23/-8)/12 = 0,088 min⁻¹

Час до досягнення цільової температури

t = ln(-23/(−4))/0,088 = 19,88 min

Відповідь

t = 19,88 min

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 32,38 kg

Складіть рівняння

dm/dt = 4·0,1 − (4/1000)·m = 0,4 − 0,004·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник e^rt/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 100 + (−95)·e^−t/250

Підставте t

m(85) = 100 + (−95)·0,7118 = 32,38 kg

Відповідь

m = 32,38 kg

3.Інтеграли

Відповідь: I = 1,742

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первісна

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Границі

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Відповідь

I = 1,742

4.Інтеграли

Відповідь: I = 0,7183

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Відповідь

I = 0,7183

5.Похідні

Відповідь: f′(1) = 1,2

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

Підставте

f′(1) = 6/5 = 1,2

Відповідь

f′(1) = 1,2

6.Похідні

Відповідь: x = 3

Похідна

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 3 або x = 5

Що є що

f″(x) = 6x − 24: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 3

Відповідь

x = 3

7.Чисельні методи

Відповідь: T = 1,082

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 0,6667

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,771429 + 2·0,296703 + 0,111111 = 3,247375

Формула трапецій

T = (0,6667/2)·3,247375 = 1,082

Відповідь

T = 1,082

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: y₁ = 1,588

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Чотири нахили

k₁ = f(0, 2) = −1

k₂ = f(0,25, 1,75) = −0,781088

k₃ = f(0,25, 1,804728) = −0,835816

k₄ = f(0,5, 1,582092) = −0,70451

Об’єднайте

y₁ = 2 + (0,5/6)(−1 + 2·−0,781088 + 2·−0,835816 − 0,70451) = 1,588

Відповідь

y₁ = 1,588

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations