Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 89 °C залишили в кімнаті з температурою 20 °C. Через 10 min її температура становить 71 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 89 °CT_a = 20 °CT(10) = 71 °C

k = min⁻¹

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y″ + 4y′ + 13y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0 (відпущено зі стану спокою). Знайдіть y(1); кути в радіанах.

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀³ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 3]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 4 − x² і віссю x.

y = 4 − x²

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(x² + 2). Знайдіть f′(3).

f(x) = ln(x² + 2)x = 3

f′(3) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 0,5x² − 3x − 1 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 0,5x² − 3x − 1x = 1

b =

7.Чисельні методиСередня

Формулу трапецій застосовують до ∫₀² x³ dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 2]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001

n =

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,1 для y′ = −0,5y, y(0) = 3, щоб оцінити y₃ ≈ y(0,3).

y′ = −0,5yy(0) = 3h = 0,1

y₃ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,03023 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−10k = 51/69

Розв’яжіть щодо k

k = ln(69/51)/10 = 0,03023 min⁻¹

Відповідь

k = 0,03023 min⁻¹

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1) = −0,1212

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Комплексні корені

r = −2 ± 3j

Сталі

A = 1, B = 2·1/3 = 0,6667

Обчисліть

y(1) = e⁻²(1·cos 3 + 0,6667·sin 3) = −0,1212

Відповідь

y(1) = −0,1212

3.Інтеграли

Відповідь: I = 19,09

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^x/1

Підставте межі

I = (e³ − 1)/1 = (20,09 − 1)/1 = 19,09

Відповідь

I = 19,09

4.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Нулі

4 − x² = 0 → x = ±2

Інтегруйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Відповідь

A = 10,67

5.Похідні

Відповідь: f′(3) = 0,5455

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Підставте

f′(3) = 6/11 = 0,5455

Відповідь

f′(3) = 0,5455

6.Похідні

Відповідь: b = −1,5

Точка і нахил

f(1) = −3,5

f′(x) = x − 3 → f′(1) = −2

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3,5 − (−2)·1 = −1,5

Відповідь

b = −1,5

7.Чисельні методи

Відповідь: n = 90

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Оцінка другої похідної

M = 6·2 = 12

Виразіть n

n² > 8·12/(12·0,001) = 8000

n > 89,44 → n = 90

Відповідь

n = 90

8.Чисельні методи

Відповідь: y₃ = 2,572

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₁ = 3 + 0,1·(−1,5) = 2,85

y₂ = 2,85 + 0,1·(−1,425) = 2,7075

y₃ = 2,7075 + 0,1·(−1,35375) = 2,572125

Графік

y₃ = 2,572

Відповідь

y₃ = 2,572

Точне значення дорівнює y(0,3) = 2,582124.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations