Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 7y′ + 12y = 0 при y(0) = 4 і y′(0) = 2. Знайдіть y(1,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 2

y(1.5) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + 2y = 2e^−0,5t при y(0) = 0. Знайдіть y(1,5).

y′ + 2y = 2e^−0,5ty(0) = 0

y(1.5) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 3x + 2. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 3x + 2

x =

7.Чисельні методиСередня

Швидкість транспортного засобу вимірюють кожні 5 с (таблиця). Оцініть пройдену відстань s від t = 0 до t = 20 с за формулою трапецій.

h = 5 sn = 4

s = m

8.Чисельні методиСкладна

Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = e^−ty, y(0) = 0. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1.5) = 0,1653

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичні корені

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Сталі за початковими значеннями

A + B = 4, −3A − 4B = 2

A = 18, B = −14

Обчисліть

y(1,5) = 18·e^−4,5 + (−14)·e⁻⁶ = 0,1653

Відповідь

y(1,5) = 0,1653

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1.5) = 0,5634

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Інтегрувальний множник

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 2e^1,5t

Загальний розв’язок

y = 2/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 1,333·e^−0,5t + C·e^−2t

Початкова умова

0 = 1,333 + C → C = −1,333

Обчисліть

y(1,5) = 1,333·0,4724 + (−1,333)·0,04979 = 0,5634

Відповідь

y(1,5) = 0,5634

3.Інтеграли

Відповідь: I = 1,718

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^x/1

Підставте межі

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Відповідь

I = 1,718

4.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

5.Похідні

Відповідь: f′(1) = −2,829

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Підставте

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Відповідь

f′(1) = −2,829

6.Похідні

Відповідь: x = −1

Похідна

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −1 або x = 1

Що є що

f″(x) = 6x: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Відповідь

x = −1

7.Чисельні методи

Відповідь: s = 247,5 m

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Зважена сума

9 + 2·7 + 2·11 + 2·17 + 20 = 99

Формула трапецій

s = (5/2)·99 = 247,5 m

Відповідь

s = 247,5 m

8.Чисельні методи

Відповідь: y₁ = 0,4629

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Чотири нахили

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,25, 0,25) = 0,939413

k₃ = f(0,25, 0,234853) = 0,942977

k₄ = f(0,5, 0,471489) = 0,789983

Об’єднайте

y₁ = 0 + (0,5/6)(1 + 2·0,939413 + 2·0,942977 + 0,789983) = 0,4629

Відповідь

y₁ = 0,4629

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations