Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Кувану сталеву деталь температурою 360 °C залишили остигати в цеху з температурою 27 °C. Через 60 min її температура становить 127 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 360 °CT_a = 27 °CT(60) = 127 °C

k = min⁻¹

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 100 L води, у якій розчинено 5 kg солі. Розсіл із 0,1 kg солі на літр надходить зі швидкістю 20 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 5 min?

V = 100 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀² x·cos x dx

I =

4.ІнтегралиСкладна

Обчисліть I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(2x), x у радіанах. Знайдіть f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 2x² + 4x + 4 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x² + 4x + 4x = 3

b =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀^1,5 sin(x²) dx за формулою трапецій з n = 2 смугами. Дайте T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 2

T =

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,1 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, щоб оцінити y₄ ≈ y(0,4).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,1

y₄ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,02005 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−60k = 100/333

Розв’яжіть щодо k

k = ln(333/100)/60 = 0,02005 min⁻¹

Відповідь

k = 0,02005 min⁻¹

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 8,161 kg

Складіть рівняння

dm/dt = 20·0,1 − (20/100)·m = 2 − 0,2·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник e^rt/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 10 + (−5)·e^−t/5

Підставте t

m(5) = 10 + (−5)·0,3679 = 8,161 kg

Відповідь

m = 8,161 kg

3.Інтеграли

Відповідь: I = 0,4024

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Відповідь

I = 0,4024

4.Інтеграли

Відповідь: I = 3,602

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Відповідь

I = 3,602

5.Похідні

Відповідь: f′(1) = 0,077

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Підставте

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Відповідь

f′(1) = 0,077

6.Похідні

Відповідь: b = −14

Точка і нахил

f(3) = 34

f′(x) = 4x + 4 → f′(3) = 16

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 34 − 16·3 = −14

Відповідь

b = −14

7.Чисельні методи

Відповідь: T = 0,6918

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,533303 + 0,778073 = 1,844679

Формула трапецій

T = (0,75/2)·1,844679 = 0,6918

Відповідь

T = 0,6918

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: y₄ = 1,474

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₁ = 1 + 0,1·(1) = 1,1

y₂ = 1,1 + 0,1·(1,109778) = 1,210978

y₃ = 1,210978 + 0,1·(1,239835) = 1,334961

y₄ = 1,334961 + 0,1·(1,389868) = 1,473948

Графік

y₄ = 1,474

Відповідь

y₄ = 1,474

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations