Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Банку газованого напою температурою 4 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 30 °C. Через 12 min її температура становить 21 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 4 °CT_a = 30 °CT(12) = 21 °C

k = min⁻¹

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть задачу Коші y′ + 2y/x = 6 при x > 0, y(1) = −2. Знайдіть y(2).

y′ + 2y/x = 6y(1) = −2

y(2) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x у радіанах).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

4.ІнтегралиСкладна

Область між прямою y = 4x і параболою y = x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 4xy = x²

V =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (2x − 1)³. Знайдіть f′(2).

f(x) = (2x − 1)³x = 2

f′(2) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 0,5x² − 4x + 2 у точці x = 1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 0,5x² − 4x + 2x = 1

b =

7.Чисельні методиСередня

Формулу трапецій застосовують до ∫₀¹ sin x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 1]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Чисельні методиСкладна

Розв’яжіть y′ = t − y, y(0) = 2 методом Ейлера з кроком h = 0,5 до t = 2. Точний розв’язок — y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t. Знайдіть глобальну похибку |E| = |y(2) − y₄|.

y′ = t − yy(0) = 2h = 0,5

|E| =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,08841 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−12k = -9/-26

Розв’яжіть щодо k

k = ln(-26/-9)/12 = 0,08841 min⁻¹

Відповідь

k = 0,08841 min⁻¹

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 3

Інтегрувальний множник

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Інтегруйте

(x²y)′ = 6x² → x²y = 6x³/3 + C

Початкова умова

−2 = 6/3 + C → C = −4

Обчисліть

y(2) = (6·2³/3 + (−4))/2² = 3

Відповідь

y(2) = 3

3.Інтеграли

Відповідь: I = 0,3424

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первісна

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Границі

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Відповідь

I = 0,3424

4.Інтеграли

Відповідь: V = 428,9

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Метод шайб

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Відповідь

V = 428,9

5.Похідні

Відповідь: f′(2) = 54

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 3·(2x − 1)²·2

Підставте

f′(2) = 3·3²·2 = 54

Відповідь

f′(2) = 54

6.Похідні

Відповідь: b = 1,5

Точка і нахил

f(1) = −1,5

f′(x) = x − 4 → f′(1) = −3

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1,5 − (−3)·1 = 1,5

Відповідь

b = 1,5

7.Чисельні методи

Відповідь: n = 84

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Оцінка другої похідної

M = sin 1 = 0,8415

Виразіть n

n² > 1·0,8415/(12·1 × 10⁻⁵) = 7012

n > 83,74 → n = 84

Відповідь

n = 84

8.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,2185

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₄ = 1,1875

Точне значення

y(2) = 1,406006

Глобальна похибка

|E| = |1,406006 − 1,1875| = 0,2185

Графік

Відповідь

|E| = 0,2185

Зменшення h удвічі приблизно вдвічі зменшує похибку методу Ейлера.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations