Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 8y′ + 16y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 0. Знайдіть y(0,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.5) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Система підпорядковується y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть y(0,25); кути в радіанах.

y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂⁶ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 6]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(3x² + 1). Знайдіть f′(2).

f(x) = ln(3x² + 1)x = 2

f′(2) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 12x² + 45x + 1. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x³ − 12x² + 45x + 1

x =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀^1,5 1/√(1 + x⁴) dx за формулою Сімпсона з n = 4 смугами. Дайте S.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 4

S =

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,5 для y′ = cos t − y, y(0) = 2, щоб оцінити y₄ ≈ y(2).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5

y₄ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.5) = 1,218

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Подвійний корінь

(r + 4)² = 0 → r = −4

Сталі

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 0 + 12 = 12

Обчисліть

y(0,5) = (3 + 12·0,5)·e⁻² = 1,218

Відповідь

y(0,5) = 1,218

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(0.25) = 0,5258

Усталене значення та корені

y_ss = 2, r = −1,5 ± 3j

Сталі за початковими значеннями

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1,5A + 3B = 0 → B = −1

Обчисліть

y(0,25) = 2·(1 − e^−0,375(cos 0,75 + 0,5·sin 0,75)) = 0,5258

Відповідь

y(0,25) = 0,5258

3.Інтеграли

Відповідь: I = 3,296

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 6 − ln 2) = 3·ln 3 = 3,296

Відповідь

I = 3,296

4.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Точки перетину

x² = 2x → x = 0, x = 2

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Відповідь

A = 1,333

5.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,9231

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

Підставте

f′(2) = 12/13 = 0,9231

Відповідь

f′(2) = 0,9231

6.Похідні

Відповідь: x = 5

Похідна

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 3 або x = 5

Що є що

f″(x) = 6x − 24: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

Відповідь

x = 5

7.Чисельні методи

Відповідь: S = 1,199

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 0,375

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,990257 + 2·0,871576 + 4·0,619958 + 0,406138 = 9,590149

Формула Сімпсона

S = (0,375/3)·9,590149 = 1,199

Відповідь

S = 1,199

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: y₄ = 0,4676

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₁ = 2 + 0,5·(−1) = 1,5

y₂ = 1,5 + 0,5·(−0,622417) = 1,188791

y₃ = 1,188791 + 0,5·(−0,648489) = 0,864547

y₄ = 0,864547 + 0,5·(−0,79381) = 0,467642

Графік

y₄ = 0,4676

Відповідь

y₄ = 0,4676

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations