Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 2y′ + y = 0 при y(0) = 2 і y′(0) = -1. Знайдіть y(2).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(2) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Система підпорядковується y″ + y′ + 9,25y = 18,5 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення y_max її відгуку на одиничний стрибок.

y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Обчисліть I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(2x² + 1). Знайдіть f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 1)x = −2

f′(−2) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = −x² − 5x − 2 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = −x² − 5x − 2x = 3

b =

7.Чисельні методиСередня

Швидкість транспортного засобу вимірюють кожні 1 с (таблиця). Оцініть пройдену відстань s від t = 0 до t = 6 с за формулою трапецій.

h = 1 sn = 6

s = m

8.Чисельні методиСкладна

Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = e^−ty, y(0) = 0. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0,5

y₁ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(2) = 0,5413

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Подвійний корінь

(r + 1)² = 0 → r = −1

Сталі

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 1A → B = -1 + 2 = 1

Обчисліть

y(2) = (2 + 1·2)·e⁻² = 0,5413

Відповідь

y(2) = 0,5413

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y_max = 3,185

Усталене значення та корені

y_ss = 2, r = −0,5 ± 3j

Сталі за початковими значеннями

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0,5A + 3B = 0 → B = −0,3333

Пік

t = π/3 = 1,047

y_max = 2·(1 + e^−0,5·π/3) = 3,185

Відповідь

y_max = 3,185

3.Інтеграли

Відповідь: I = 2,333

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Відповідь

I = 2,333

4.Інтеграли

Відповідь: I = 98,43

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Перший крок

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Другий крок

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Границі

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Відповідь

I = 98,43

5.Похідні

Відповідь: f′(−2) = −0,8889

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Підставте

f′(−2) = −8/9 = −0,8889

Відповідь

f′(−2) = −0,8889

6.Похідні

Відповідь: b = 7

Точка і нахил

f(3) = −26

f′(x) = −2x − 5 → f′(3) = −11

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −26 − (−11)·3 = 7

Відповідь

b = 7

7.Чисельні методи

Відповідь: s = 28,5 m

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Зважена сума

4 + 2·2 + 2·2 + 2·3 + 2·7 + 2·9 + 7 = 57

Формула трапецій

s = (1/2)·57 = 28,5 m

Відповідь

s = 28,5 m

8.Чисельні методи

Відповідь: y₁ = 0,4629

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Чотири нахили

k₁ = f(0, 0) = 1

k₂ = f(0,25, 0,25) = 0,939413

k₃ = f(0,25, 0,234853) = 0,942977

k₄ = f(0,5, 0,471489) = 0,789983

Об’єднайте

y₁ = 0 + (0,5/6)(1 + 2·0,939413 + 2·0,942977 + 0,789983) = 0,4629

Відповідь

y₁ = 0,4629

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations