Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Банку газованого напою температурою 3 °C дістали з холодильника в кімнату з температурою 30 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). За k = 0,09 min⁻¹ знайдіть її температуру T через 10 min.
Бак містить 200 L чистої води. Розсіл із 0,2 kg солі на літр надходить зі швидкістю 20 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Через скільки хвилин t бак міститиме 24 kg солі?
Обчисліть I = ∫₀2 x·cos x dx (x у радіанах).
Обчисліть I = ∫₀3 x²·eˣ dx.
Нехай f(x) = x·sin(3x), x у радіанах. Знайдіть f′(1,5).
Дотична до f(x) = 2x2 − 3x + 4 у точці x = −1 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.
Формулу трапецій застосовують до ∫02 sin x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 2]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 0,0001.
Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,25 для y′ = 0,5y, y(0) = 3, щоб оцінити y5 ≈ y(1,25).
Відповідь: T = 19,02 °C
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Відповідь: t = 9,163 min
Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·ekt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.
Відповідь: I = 0,4024
Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.
Відповідь: I = 98,43
Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.
Відповідь: f′(1.5) = −1,926
Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.
Відповідь: b = 2
Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.
Відповідь: n = 82
Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.
Відповідь: y5 = 5,406
Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.
Точне значення дорівнює y(1,25) = 5,604738.
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations