Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 88 °C залишили в кімнаті з температурою 23 °C. Через 25 min її температура становить 34 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 88 °CT_a = 23 °CT(25) = 34 °C

k = min⁻¹

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + y = 8e^−3t при y(0) = 4. Знайдіть y(1,5).

y′ + y = 8e^−3ty(0) = 4

y(1.5) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 0,5x² і y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = x² + 2x + 1 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = x² + 2x + 1x = 3

b =

7.Чисельні методиСередня

Формулу трапецій застосовують до ∫₀² sin x dx. Похибка не перевищує (b − a)³·M/(12n²), де M = max|f″| на [0, 2]. Знайдіть найменшу кількість смуг n, що гарантує похибку нижче за 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,25 для y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2, щоб оцінити y₄ ≈ y(1).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,25

y₄ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,07106 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−25k = 11/65

Розв’яжіть щодо k

k = ln(65/11)/25 = 0,07106 min⁻¹

Відповідь

k = 0,07106 min⁻¹

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1.5) = 1,741

Інтегрувальний множник

μ = e^t

(e^ty)′ = 8e^−2t

Загальний розв’язок

y = 8/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −4·e^−3t + C·e^−t

Початкова умова

4 = −4 + C → C = 8

Обчисліть

y(1,5) = −4·0,01111 + 8·0,2231 = 1,741

Відповідь

y(1,5) = 1,741

3.Інтеграли

Відповідь: I = 2,079

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 3·ln x

Підставте межі

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Відповідь

I = 2,079

4.Інтеграли

Відповідь: A = 18

Точки перетину

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Відповідь

A = 18

5.Похідні

Відповідь: f′(2) = 0,077

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Відповідь

f′(2) = 0,077

6.Похідні

Відповідь: b = −8

Точка і нахил

f(3) = 16

f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 16 − 8·3 = −8

Відповідь

b = −8

7.Чисельні методи

Відповідь: n = 259

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Оцінка другої похідної

M = |sin(π/2)| = 1

Виразіть n

n² > 8·1/(12·1 × 10⁻⁵) = 66667

n > 258,2 → n = 259

Відповідь

n = 259

8.Чисельні методи

Відповідь: y₄ = 0,7836

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₁ = 0,2 + 0,25·(0,36) = 0,29

y₂ = 0,29 + 0,25·(0,4959) = 0,413975

y₃ = 0,413975 + 0,25·(0,656575) = 0,578119

y₄ = 0,578119 + 0,25·(0,822016) = 0,783623

Графік

y₄ = 0,7836

Відповідь

y₄ = 0,7836

Точне значення дорівнює y(1) = 0,901706.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations