Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 8y′ + 15y = 0 при y(0) = 3 і y′(0) = 0. Знайдіть y(1,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1.5) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Бак містить 200 L чистої води. Розсіл із 0,05 kg солі на літр надходить зі швидкістю 20 L/min, а добре перемішаний розчин витікає з тією самою швидкістю. Скільки солі m буде в баку через 15 min?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = 0,5x² і y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 2x² − x + 2 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 2x² − x + 2x = 3

b =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀¹ x³ dx за формулою трапецій, n = 2, і порівняйте з точним значенням. Знайдіть абсолютну похибку |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2

|E| =

8.Чисельні методиСкладна

Виконайте один крок класичного методу Рунге–Кутти (RK4) з h = 0,5 для y′ = cos t − y, y(0) = 2. Знайдіть y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5

y₁ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1.5) = 0,08083

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичні корені

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Сталі за початковими значеннями

A + B = 3, −3A − 5B = 0

A = 7,5, B = −4,5

Обчисліть

y(1,5) = 7,5·e^−4,5 + (−4,5)·e^−7,5 = 0,08083

Відповідь

y(1,5) = 0,08083

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: m = 7,769 kg

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Складіть рівняння

dm/dt = 20·0,05 − (20/200)·m = 1 − 0,1·m

Розв’яжіть

Інтегрувальний множник e^rt/V; розв’язок наближається до рівноважного c·V.

m(t) = 10 + (−10)·e^−t/10

Підставте t

m(15) = 10 + (−10)·0,2231 = 7,769 kg

Відповідь

m = 7,769 kg

3.Інтеграли

Відповідь: I = 3,195

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = e^2x/2

Підставте межі

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Відповідь

I = 3,195

4.Інтеграли

Відповідь: A = 42,67

Точки перетину

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Відповідь

A = 42,67

5.Похідні

Відповідь: f′(0.5) = 0,9182

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Відповідь

f′(0,5) = 0,9182

6.Похідні

Відповідь: b = −16

Точка і нахил

f(3) = 17

f′(x) = 4x − 1 → f′(3) = 11

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 17 − 11·3 = −16

Відповідь

b = −16

7.Чисельні методи

Відповідь: |E| = 0,0625

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Точне значення

I = 0,25

Формула трапецій

T = (0,5/2)·(0 + 2·0,125 + 1) = 0,3125

Похибка

|E| = |0,3125 − 0,25| = 0,0625

Відповідь

|E| = 0,0625

Відносна похибка: 25 %.

8.Чисельні методи

Відповідь: y₁ = 1,588

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Чотири нахили

k₁ = f(0, 2) = −1

k₂ = f(0,25, 1,75) = −0,781088

k₃ = f(0,25, 1,804728) = −0,835816

k₄ = f(0,5, 1,582092) = −0,70451

Об’єднайте

y₁ = 2 + (0,5/6)(−1 + 2·−0,781088 + 2·−0,835816 − 0,70451) = 1,588

Відповідь

y₁ = 1,588

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations