Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Розв’яжіть y″ + 7y′ + 12y = 0 при y(0) = 1 і y′(0) = 0. Знайдіть y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1) =

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Система підпорядковується y″ + y′ + 25,25y = 126,3 для t ≥ 0, починаючи зі стану спокою: y(0) = 0, y′(0) = 0. Знайдіть пікове значення y_max її відгуку на одиничний стрибок.

y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀² x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀² x·cos x dx

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·e^x. Знайдіть f′(1).

f(x) = x·e^xx = 1

f′(1) =

6.ПохідніСкладна

Нехай f(x) = x³ − 6x² + 9x − 6. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x³ − 6x² + 9x − 6

x =

7.Чисельні методиСередня

Швидкість транспортного засобу вимірюють кожні 5 с (таблиця). Оцініть пройдену відстань s від t = 0 до t = 30 с за формулою трапецій.

h = 5 sn = 6

s = m

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Ейлера з h = 0,25 для y′ = e^−ty, y(0) = 1, щоб оцінити y₅ ≈ y(1,25).

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0,25

y₅ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1) = 0,1442

Лінійні рівняння другого порядку: для y″ + b·y′ + c·y = 0 шукайте y = e^rt: це дає характеристичне рівняння r² + b·r + c = 0. Два дійсні корені r₁ ≠ r₂ дають y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (надкритичне демпфування); подвійний корінь r дає y = (A + Bt)·e^rt (критичне демпфування); комплексні корені −α ± jω дають y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (докритичне демпфування, коливання). Початкові значення y(0) і y′(0) визначають A і B. У вигляді y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 величина ω_n — власна частота, а ζ — коефіцієнт демпфування: при ζ < 1 є коливання. При сталому вході y″ + by′ + cy = c·K розв’язок — усталене значення K плюс вільна складова.

Характеристичні корені

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Сталі за початковими значеннями

A + B = 1, −3A − 4B = 0

A = 4, B = −3

Обчисліть

y(1) = 4·e⁻³ + (−3)·e⁻⁴ = 0,1442

Відповідь

y(1) = 0,1442

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y_max = 8,652

Усталене значення та корені

y_ss = 5, r = −0,5 ± 5j

Сталі за початковими значеннями

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,5

Пік

t = π/5 = 0,6283

y_max = 5·(1 + e^−0,5·π/5) = 8,652

Відповідь

y_max = 8,652

3.Інтеграли

Відповідь: I = 0,4024

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Відповідь

I = 0,4024

4.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Точки перетину

x² = 4x → x = 0, x = 4

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Відповідь

A = 10,67

5.Похідні

Відповідь: f′(1) = 5,437

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правило добутку

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Підставте

f′(1) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Відповідь

f′(1) = 5,437

6.Похідні

Відповідь: x = 1

Похідна

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 3

Що є що

f″(x) = 6x − 12: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 1

Відповідь

x = 1

7.Чисельні методи

Відповідь: s = 225 m

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Зважена сума

0 + 2·3 + 2·7 + 2·11 + 2·9 + 2·10 + 10 = 90

Формула трапецій

s = (5/2)·90 = 225 m

Відповідь

s = 225 m

8.Чисельні методи

Відповідь: y₅ = 1,682

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Ейлера

y₁ = 1 + 0,25·(1) = 1,25

y₂ = 1,25 + 0,25·(0,731616) = 1,432904

y₃ = 1,432904 + 0,25·(0,488482) = 1,555024

y₄ = 1,555024 + 0,25·(0,311527) = 1,632906

y₅ = 1,632906 + 0,25·(0,195361) = 1,681747

Графік

y₅ = 1,682

Відповідь

y₅ = 1,682

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations