Диференціальні рівняння: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Диференціальні рівняння

Експоненціальне зростання/спадання: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Період напіврозпаду: k = ln 2 / t_½
Закон охолодження Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Інтегрувальний множник: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак змішування: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Чисельні методи

Бісекція: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Ньютон–Рафсон: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Лінійна інтерполяція: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Оцінка похибки трапецій: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Ейлер: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Хойн: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Метод

Для кореня: перевірте зміну знака для бісекції або обчисліть f і f′ для Ньютона й зберігайте шість і більше цифр у таблиці ітерацій.
Для табличного значення: інтерполюйте лінійно між двома сусідніми точками.
Для інтеграла: знайдіть h = (b − a)/n, випишіть f у кожному вузлі, застосуйте ваги (1, 2, …, 2, 1 для трапецій; 1, 4, 2, …, 4, 1 для Сімпсона з парним n) і помножте на h/2 або h/3.
Для ЗДР: крокуйте від t₀ за yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Ейлер) або усередненим нахилом (Хойн), по одному рядку на крок, доки не дійдете до потрібного t.

2Задачі для практики

1.Диференціальні рівнянняСередня

Чашку кави температурою 81 °C залишили в кімнаті з температурою 21 °C. Через 5 min її температура становить 63 °C. Вона підпорядковується закону охолодження Ньютона, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Знайдіть сталу k в min⁻¹.

T₀ = 81 °CT_a = 21 °CT(5) = 63 °C

k = min⁻¹

2.Диференціальні рівнянняСкладна

Розв’яжіть y′ + y = 8e^−2t при y(0) = 3. Знайдіть y(1).

y′ + y = 8e^−2ty(0) = 3

y(1) =

3.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₁³ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 3]

I =

4.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області, обмеженої y = x² і y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

5.ПохідніСередня

Нехай f(x) = (2x + 3)⁴. Знайдіть f′(2).

f(x) = (2x + 3)⁴x = 2

f′(2) =

6.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = −x² + 4x + 2 у точці x = −2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = −x² + 4x + 2x = −2

b =

7.Чисельні методиСередня

Наближено обчисліть ∫₀² √x·e^−x dx за формулою трапецій з n = 3 смугами. Дайте T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 3

T =

8.Чисельні методиСкладна

Скористайтеся методом Хойна (вдосконаленим методом Ейлера) з h = 0,1 для y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, щоб оцінити y₃ ≈ y(0,3).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,1

y₃ =

3Розчини

1.Диференціальні рівняння

Відповідь: k = 0,07133 min⁻¹

Диференціальні рівняння першого порядку: dy/dt = k·y має розв’язок y = y₀·e^kt (зростання при k > 0, спадання при k < 0); період напіврозпаду T дає k = ln 2/T. Закон охолодження Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) дає T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Лінійне рівняння y′ + p(x)·y = q(x) розв’язують з інтегрувальним множником μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, тож μy = ∫μq dx + C.

Відношення різниць температур

e^−5k = 42/60

Розв’яжіть щодо k

k = ln(60/42)/5 = 0,07133 min⁻¹

Відповідь

k = 0,07133 min⁻¹

2.Диференціальні рівняння

Відповідь: y(1) = 2,964

Інтегрувальний множник

μ = e^t

(e^ty)′ = 8e^−t

Загальний розв’язок

y = 8/(−1)·e^−2t + C·e^−t = −8·e^−2t + C·e^−t

Початкова умова

3 = −8 + C → C = 11

Обчисліть

y(1) = −8·0,1353 + 11·0,3679 = 2,964

Відповідь

y(1) = 2,964

3.Інтеграли

Відповідь: I = 2,197

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 2·ln x

Підставте межі

I = 2·(ln 3 − ln 1) = 2·ln 3 = 2,197

Відповідь

I = 2,197

4.Інтеграли

Відповідь: A = 10,67

Точки перетину

x² = 4x → x = 0, x = 4

Інтегруйте верхню мінус нижню

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Відповідь

A = 10,67

5.Похідні

Відповідь: f′(2) = 2744

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 4·(2x + 3)³·2

Підставте

f′(2) = 4·7³·2 = 2744

Відповідь

f′(2) = 2744

6.Похідні

Відповідь: b = 6

Точка і нахил

f(−2) = −10

f′(x) = −2x + 4 → f′(−2) = 8

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −10 − 8·(−2) = 6

Відповідь

b = 6

7.Чисельні методи

Відповідь: T = 0,5462

Чисельне інтегрування: розбийте [a, b] на n смуг шириною h = (b − a)/n з вузлами x₀ … xₙ. Формула трапецій: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Формула Сімпсона (n парне): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Похибка трапецій зменшується як h² (оцінка (b − a)h²·M/12, де M = max|f″|), Сімпсона — як h⁴, тож за тих самих вузлів Сімпсон зазвичай значно точніший.

Вузли та значення

h = 0,6667

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,419203 + 2·0,304376 + 0,191393 = 1,638551

Формула трапецій

T = (0,6667/2)·1,638551 = 0,5462

Відповідь

T = 0,5462

Цей інтеграл не має елементарної первісної, і саме тоді потрібне чисельне правило.

8.Чисельні методи

Відповідь: y₃ = 1,355

Чисельний розв’язок y′ = f(t, y): метод Ейлера рухається вздовж нахилу на початку кожного кроку: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Метод Хойна (вдосконалений метод Ейлера) усереднює нахил на початку та в передбаченні Ейлера: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Класичний метод Рунге–Кутти (RK4) поєднує чотири нахили: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Глобальна похибка методу Ейлера пропорційна h, Хойна — h², RK4 — h⁴.

Кроки Хойна

y₁ = 1 + (0,1/2)(1 + 1,109778) = 1,105489

y₂ = 1,105489 + (0,1/2)(1,110324 + 1,240911) = 1,223051

y₃ = 1,223051 + (0,1/2)(1,242178 + 1,393265) = 1,354823

Графік

y₃ = 1,355

Відповідь

y₃ = 1,355

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations