Цифрова електроніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Системи числення

Ваги розрядів: двійкова 2^k, вісімкова 8^k, шістнадцяткова 16^k
У десяткову: Σ d_k·b^k
З десяткової: діліть на основу, остачі читайте знизу вгору
Шістнадцяткова ↔ двійкова: одна шістнадцяткова цифра = 4 біти
Додатковий код: інвертуйте біти й додайте 1

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

2Задачі для практики

1.Системи численняСередня

8-бітовий шаблон 1111 1100 зберігає ціле число зі знаком у додатковому коді. Яке його значення N у десятковій системі?

1111 11008 bit

N =

2.Системи численняСкладна

Система має дати кожному з 2349 елементів власний двійковий код однакової довжини. Яка найменша кількість бітів b потрібна?

2349

b = bit

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Спростіть F = A′BC + A′BC′ + A′C′ + AC до мінімальної форми суми добутків. Скільки літералів L містить спрощений вираз?

F = A′BC + A′BC′ + A′C′ + AC

L =

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

3-розрядний двійковий лічильник на додавання починає з 4 (десяткове, Q = 100). Яке значення Q (у десятковому вигляді) він покаже після 26 імпульсів такту?

Q₀ = 426n = 3

Q =

5.Збір даних і дискретизаціяСередня

Реєстратор дискретизує 2 каналів з частотою 2 кГц кожен 24-розрядним АЦП. Кожен відлік зберігається в цілих байтах. Знайдіть пам’ять M, потрібну для запису тривалістю 5 хв, у МБ (1 МБ = 10⁶ байт).

n = 2f_s = 2 kHzN = 24t = 5 min

M = MB

6.Збір даних і дискретизаціяСкладна

2-канальний мультиплексор живить один АЦП. Кожне перетворення триває 1 мкс, а після кожного перемикання каналу входу потрібно 5 мкс, щоб встановитися. Канали сканують по черзі без пауз. Знайдіть частоту дискретизації f_s кожного каналу в кГц.

n = 2t_c = 1 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

3Розчини

1.Системи числення

Відповідь: N = −4

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Додайте ваги

Інші біти зберігають свої звичайні додатні ваги.

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = −4

Відповідь

N = −4

2.Системи числення

Відповідь: b = 12 bit

Степені двійки

2¹¹ = 2048 < 2349

2¹² = 4096 ≥ 2349

Відповідь

b = 12

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 6

Булева алгебра: правила, що спрощують вирази, — це X + X′ = 1 і X·X′ = 0, X + X = X, поглинання X + X·Y = X, правило склеювання X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y і теорема про консенсус XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Закони де Моргана перетворюють (X·Y)′ на X′ + Y′, а (X + Y)′ на X′·Y′. Карта Карно застосовує ці правила графічно: кожна група з двох сусідніх клітинок — це одне застосування XY + XY′ = X.

Мінтерми виразу

A′BC → m(3)

A′BC′ → m(2)

A′C′ → m(0, 2)

AC → m(5, 7)

Згрупуйте й зчитайте

F = BC + A′C′ + AC

Порахуйте літерали

L = 6

Відповідь

L = 6

Існує інше групування того самого розміру; воно має таку саму кількість літералів.

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: Q = 6

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Повні цикли

Кожні 8 імпульсів повертають лічильник у той самий стан.

26 = 3·8 + 2

Значення після решти імпульсів

Q = (4 + 2) mod 8 = 6

Q = 110₂

Відповідь

Q = 6

5.Збір даних і дискретизація

Відповідь: M = 3,6 MB

Швидкості даних: кожен канал дає f_s відліків за секунду по N біт, тож сира швидкість дорівнює канали × f_s × N біт/с. У пам’яті відлік займає цілі байти (12-бітний відлік зберігається в 2 байтах), тож пам’ять для запису дорівнює канали × f_s × байти на відлік × час. АЦП з мультиплексуванням перетворює канали один за одним: кожне перетворення (із часом встановлення) триває t, тож один цикл із n каналів триває n·t, а кожен канал дискретизується з частотою 1/(n·t).

Байти на відлік

⌈24/8⌉ = 3 B

Швидкість у байтах

2·2000·3 = 12000 B/s

Пам’ять

M = 12000·300 = 3,6 × 10⁶ B = 3,6 MB

Відповідь

M = 3,6 MB

6.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_s = 83,33 kHz

Час на канал

1 + 5 = 6 µs

Час на сканування

2·6 = 12 µs

Частота дискретизації на канал

f_s = 1/12 µs = 83,33 kHz

Відповідь

f_s = 83,33 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics