Цифрова електроніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Системи числення

Ваги розрядів: двійкова 2^k, вісімкова 8^k, шістнадцяткова 16^k
У десяткову: Σ d_k·b^k
З десяткової: діліть на основу, остачі читайте знизу вгору
Шістнадцяткова ↔ двійкова: одна шістнадцяткова цифра = 4 біти
Додатковий код: інвертуйте біти й додайте 1

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

2Задачі для практики

1.Системи численняСередня

Встановіть біти так, щоб вони зберігали −9 в 8-бітовому доповняльному коді. Яке значення U шаблону, якщо читати його як беззнакове число?

N = −98 bit

U =

2.Системи численняСкладна

Нестиснене зображення має 1280 × 720 пікселів і 16 бітів на піксель. Скільки пам'яті M воно займає, у KiB (1 KiB = 1024 байти)?

1280 × 720 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Мультиплексор 4-до-1 має адресні входи S₁ = A і S₀ = B, а його інформаційні входи з’єднано з I₀ = C′, I₁ = C, I₂ = 0, I₃ = 0. Для скількох із 8 комбінацій A, B і C вихід F = 1? Знайдіть N.

I₀ = C′I₁ = CI₂ = 0I₃ = 0

N =

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

4-розрядний зсувний регістр Q₃Q₂Q₁Q₀ містить 0101. На кожному фронті такту біти зсуваються на одне місце праворуч (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ втрачається), а послідовний вхід заходить у Q₃. Послідовний вхід дорівнює 1, 1, 0, 1, 1, 1 на 6 фронтах. Запишіть кінцевий стан Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ як десяткове число.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 01011, 1, 0, 1, 1, 1

Q =

5.Збір даних і дискретизаціяСередня

Синусоїда 12,5 kHz дискретизується з частотою 10 kHz без антиаліасингового фільтра. На якій частоті f_a вона з’являється у відліках? Подайте в kHz.

f = 12,5 kHzf_s = 10 kHz

f_a = kHz

6.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Датчик температури дає 5 мВ/°C (0 В при 0 °C). Його сигнал підсилюється в 1 раз і подається на 8-розрядний АЦП із діапазоном від 0 до 3,3 В (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Знайдіть зміну температури ΔT_LSB, що відповідає одному LSB.

S = 5 mV/°CG = 1N = 8V_FSR = 3,3 V

ΔT_LSB = °C

3Розчини

1.Системи числення

Відповідь: U = 247

Встановлення бітів: кожен біт має вагу степеня двійки (128, 64, …, 1). Одна шістнадцяткова цифра — це рівно чотири біти, а в 8-бітовому доповняльному коді крайній лівий біт має вагу −128. Порозрядні операції працюють з кожною позицією біта окремо.

Інвертуйте і додайте одиницю

9 = 0000 1001

інвертовано: 1111 0110

+1 → 1111 0111

Прочитайте як беззнакове

1111 0111₂ = 256 − 9 = 247

Відповідь

U = 247

2.Системи числення

Відповідь: M = 1800 KiB

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Біти й байти

1280·720·16 = 14745600 bit = 1843200 B

Переведіть у KiB

1843200/1024 = 1800 KiB

Відповідь

M = 1800 KiB

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 2

Мультиплексор: мультиплексор 2ⁿ-до-1 передає на вихід один зі своїх інформаційних входів; адресні лінії, прочитані як двійкове число, вибирають який. Для MUX 4-до-1 з адресами S₁S₀ = AB маємо F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Якщо з’єднати інформаційні входи з 0, 1, C або C′, MUX реалізує будь-яку функцію від A, B і C, що є поширеним способом побудувати логіку однією мікросхемою.

Вираз виходу

F = A′B′C′ + A′BC

Рядки з F = 1

ABC = 000, 011

N = 2

Відповідь

N = 2

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: Q = 14

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Стан після кожного фронту

0101 → 1010 → 1101 → 0110 → 1011 → 1101 → 1110

Десяткове значення

1110₂ = 14

Відповідь

Q = 14

5.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_a = 2,5 kHz

Дискретизація: АЦП вимірює сигнал f_s разів за секунду. За теоремою Найквіста–Шеннона частота f фіксується правильно лише доти, доки f < f_s/2, частота Найквіста (згортання), тож частота дискретизації має перевищувати подвоєну найвищу частоту сигналу. Вища частота не втрачається: вона з’являється як аліас на f_a = |f − k·f_s|, де ціле k дає результат між 0 і f_s/2. Відліки не розрізняють їх, тому аналоговий антиаліасинговий фільтр має прибрати все, що вище f_s/2, перед АЦП.

Частота Найквіста

f_s/2 = 5 kHz < f = 12,5 kHz

Найближче кратне частоти дискретизації

k = round(12,5/10) = 1

Частота аліасу

f_a = |12,5 − 1·10| = 2,5 kHz

Відповідь

f_a = 2,5 kHz

Штрихова крива на рисунку — це аліас: вона проходить через ті самі відліки.

6.Збір даних і дискретизація

Відповідь: ΔT_LSB = 2,578 °C

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Розмір кроку

1 LSB = 3300/256 = 12,89 mV

Чутливість на АЦП

5·1 = 5 mV/°C

Температурна роздільність

ΔT_LSB = 12,89/5 = 2,578 °C

Відповідь

ΔT_LSB = 2,578 °C

АЦП досягає повної шкали при 660 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics