Цифрова електроніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Системи числення

Ваги розрядів: двійкова 2^k, вісімкова 8^k, шістнадцяткова 16^k
У десяткову: Σ d_k·b^k
З десяткової: діліть на основу, остачі читайте знизу вгору
Шістнадцяткова ↔ двійкова: одна шістнадцяткова цифра = 4 біти
Додатковий код: інвертуйте біти й додайте 1

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

2Задачі для практики

1.Системи численняСередня

8-бітовий шаблон 1100 1110 зберігає ціле число зі знаком у додатковому коді. Яке його значення N у десятковій системі?

1100 11108 bit

N =

2.Системи численняСкладна

Встановіть біти за 8-бітовим результатом 0010 1100 OR 0111 1101. Яке значення R результату в десятковій системі?

0010 1100OR0111 1101

R =

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму суми добутків (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 8, 11). Скільки добутків N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 8, 11)

N =

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

D-тригер, що спрацьовує за переднім фронтом, починає з Q = 0 і отримує показані входи. Клікніть перший фронт такту, на якому Q переходить з 1 назад у 0.

Q₀ = 0D

1фронт такту 1
2фронт такту 2
3фронт такту 3
4фронт такту 4
5фронт такту 5
6фронт такту 6
7фронт такту 7
8фронт такту 8

5.Збір даних і дискретизаціяСередня

Синусоїда 28 kHz дискретизується з частотою 20 kHz без антиаліасингового фільтра. На якій частоті f_a вона з’являється у відліках? Подайте в kHz.

f = 28 kHzf_s = 20 kHz

f_a = kHz

6.Збір даних і дискретизаціяСкладна

8-канальний мультиплексор живить один АЦП. Кожне перетворення триває 1 мкс, а після кожного перемикання каналу входу потрібно 2,5 мкс, щоб встановитися. Канали сканують по черзі без пауз. Знайдіть частоту дискретизації f_s кожного каналу в кГц.

n = 8t_c = 1 µst_set = 2,5 µs

f_s = kHz

3Розчини

1.Системи числення

Відповідь: N = −50

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Додайте ваги

Інші біти зберігають свої звичайні додатні ваги.

−128 + 64 + 8 + 4 + 2 = −50

Відповідь

N = −50

2.Системи числення

Відповідь: R = 125

Встановлення бітів: кожен біт має вагу степеня двійки (128, 64, …, 1). Одна шістнадцяткова цифра — це рівно чотири біти, а в 8-бітовому доповняльному коді крайній лівий біт має вагу −128. Порозрядні операції працюють з кожною позицією біта окремо.

Біт за бітом

OR дає 1, де принаймні один біт дорівнює 1.

0010 1100

OR 0111 1101

= 0111 1101

Значення результату

0111 1101₂ = 125

Відповідь

R = 125

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 4

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте одиниці

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

A′C′D

A′CD′

AB′C′D′

AB′CD

Мінімальна форма SOP

F = A′C′D + A′CD′ + AB′C′D′ + AB′CD

N = 4

Відповідь

N = 4

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: фронт такту 3

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Q після кожного фронту

D-тригер копіює D за кожним переднім фронтом: Q⁺ = D.

1: D = 0 → Q = 0

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 1 → Q = 1

8: D = 1 → Q = 1

Перша зміна з 1 на 0

фронт такту 3

Відповідь

фронт такту 3

5.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_a = 8 kHz

Дискретизація: АЦП вимірює сигнал f_s разів за секунду. За теоремою Найквіста–Шеннона частота f фіксується правильно лише доти, доки f < f_s/2, частота Найквіста (згортання), тож частота дискретизації має перевищувати подвоєну найвищу частоту сигналу. Вища частота не втрачається: вона з’являється як аліас на f_a = |f − k·f_s|, де ціле k дає результат між 0 і f_s/2. Відліки не розрізняють їх, тому аналоговий антиаліасинговий фільтр має прибрати все, що вище f_s/2, перед АЦП.

Частота Найквіста

f_s/2 = 10 kHz < f = 28 kHz

Найближче кратне частоти дискретизації

k = round(28/20) = 1

Частота аліасу

f_a = |28 − 1·20| = 8 kHz

Відповідь

f_a = 8 kHz

Штрихова крива на рисунку — це аліас: вона проходить через ті самі відліки.

6.Збір даних і дискретизація

Відповідь: f_s = 35,71 kHz

Швидкості даних: кожен канал дає f_s відліків за секунду по N біт, тож сира швидкість дорівнює канали × f_s × N біт/с. У пам’яті відлік займає цілі байти (12-бітний відлік зберігається в 2 байтах), тож пам’ять для запису дорівнює канали × f_s × байти на відлік × час. АЦП з мультиплексуванням перетворює канали один за одним: кожне перетворення (із часом встановлення) триває t, тож один цикл із n каналів триває n·t, а кожен канал дискретизується з частотою 1/(n·t).

Час на канал

1 + 2,5 = 3,5 µs

Час на сканування

8·3,5 = 28 µs

Частота дискретизації на канал

f_s = 1/28 µs = 35,71 kHz

Відповідь

f_s = 35,71 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics