Цифрова електроніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Системи числення

Ваги розрядів
двійкова 2k, вісімкова 8k, шістнадцяткова 16k
У десяткову
Σ dk·bk
З десяткової
діліть на основу, остачі читайте знизу вгору
Шістнадцяткова ↔ двійкова
одна шістнадцяткова цифра = 4 біти
Додатковий код
інвертуйте біти й додайте 1

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок
втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Тригери
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники
n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Послідовний лічильник
fmax = 1/(n·tpd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона
n і 2n станів

Метод

  1. Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
  2. Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
  4. Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Частота аліасу
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Розмір кроку
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення)
±½ LSB
Код АЦП з відсіканням
D = ⌊Vin/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r
2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних
канали × fs × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод)
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
  2. У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з fs/2; вища частота виглядає як fa = |f − k·fs| з найближчим кратним fs.
  3. У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = VFSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
  4. У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

2Задачі для практики

1.Системи численняСередня
ваги розрядів у додатковому коді1−12806403201618040211

8-бітовий шаблон 1000 1001 зберігає ціле число зі знаком у додатковому коді. Яке його значення N у десятковій системі?

1000 10018 bit
N =
2.Системи численняСкладна
2400 кодів, b = ? бітів?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

Система має дати кожному з 2400 елементів власний двійковий код однакової довжини. Яка найменша кількість бітів b потрібна?

2400
b = bit
3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня
ABCD000111100001111010111312041517061120130151140809111010

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму добутку сум (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 12, 14). Скільки доданків-сум (множників) N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 12, 14)
N =
4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна
ABCD0001111000011110100103020405X716012013X151140819011010

Знайдіть мінімальну форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 9, 14) + d(7, 15), де d позначає байдужі стани. Скільки літералів L вона містить?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 9, 14) + d(7, 15)
L =
5.Збір даних і дискретизаціяСередня
Vin​N = ?10 V2ᴺ − 10≤ 0,5 mV

АЦП із вхідним діапазоном від 0 до 10 В має розрізняти кроки 0,5 мВ або менші. Знайдіть найменшу кількість розрядів N.

VFSR = 10 Vроздільність = 0,5 mV
N =
6.Збір даних і дискретизаціяСкладна
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Для аудіовимірювання потрібне ідеальне відношення сигнал/шум квантування щонайменше 55 дБ для синусоїди на повну шкалу. Знайдіть найменшу кількість розрядів АЦП N.

SQNR ≥ 55 dB
N =

3Розчини

1.Системи числення

Відповідь: N = −119

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Додайте ваги

Інші біти зберігають свої звичайні додатні ваги.

−128 + 8 + 1 = −119

Відповідь

N = −119
2.Системи числення

Відповідь: b = 12 bit

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Степені двійки

211 = 2048 < 2400
212 = 4096 ≥ 2400

Відповідь

b = 12
3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 4

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

ABCD000111100001111010111312041517061120130151140809111010

Згрупуйте нулі

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

(A′ + C + D′)
(A + B′ + D)
(A′ + B + D)
(A′ + B′ + D′)

Мінімальна форма POS

F = (A′ + C + D′)(A + B′ + D)(A′ + B + D)(A′ + B′ + D′)
N = 4

Відповідь

N = 4

Існує інше групування того самого розміру; воно має таку саму кількість доданків і літералів.

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 10

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Прості імпліканти

Найбільші групи, які можна утворити з одиниць і X.

BC, A′B′C′D′, AB′C′D
ABCD0001111000011110100103020405X716012013X151140819011010

Мінімальне покриття

F = BC + A′B′C′D′ + AB′C′D
L = 10

Відповідь

L = 10
5.Збір даних і дискретизація

Відповідь: N = 15

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали VFSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = VFSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Потрібна кількість кроків

10000 mV/0,5 mV = 20000

Розряди

log₂(20000) = 14,29
214 = 16384 < 20000 ≤ 215 = 32768
N = 15

Відповідь

N = 15
6.Збір даних і дискретизація

Відповідь: N = 9

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали VFSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = VFSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Розв’яжіть відносно N

N ≥ (55 − 1,76)/6,02 = 8,844

Округліть угору

N = 9
перевірка: 6,02·9 + 1,76 = 55,94 dB ≥ 55 dB

Відповідь

N = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics