Цифрова електроніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Системи числення

Ваги розрядів: двійкова 2^k, вісімкова 8^k, шістнадцяткова 16^k
У десяткову: Σ d_k·b^k
З десяткової: діліть на основу, остачі читайте знизу вгору
Шістнадцяткова ↔ двійкова: одна шістнадцяткова цифра = 4 біти
Додатковий код: інвертуйте біти й додайте 1

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Частота аліасу: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Розмір кроку: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення): ±½ LSB
Код АЦП з відсіканням: D = ⌊V_in/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r: 2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних: канали × f_s × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод): baud = f_clk/(16·D)

Метод

Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з f_s/2; вища частота виглядає як f_a = |f − k·f_s| з найближчим кратним f_s.
У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = V_FSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

2Задачі для практики

1.Системи численняСередня

Встановіть біти так, щоб вони зберігали −99 в 8-бітовому доповняльному коді. Яке значення U шаблону, якщо читати його як беззнакове число?

N = −998 bit

U =

2.Системи численняСкладна

Нестиснене зображення має 800 × 600 пікселів і 24 бітів на піксель. Скільки пам'яті M воно займає, у KiB (1 KiB = 1024 байти)?

800 × 600 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму добутку сум (POS) для F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 4, 7). Скільки доданків-сум (множників) N вона має?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 4, 7)

N =

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

Для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 6, 9, 10, 15) + d(4, 5, 12), де d позначає байдужі стани, знайдіть кількість N суттєвих простих імплікант.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 6, 9, 10, 15) + d(4, 5, 12)

N =

5.Збір даних і дискретизаціяСередня

Датчик вимірює тиск у діапазоні 200 kPa, а його вихід заповнює весь вхідний діапазон АЦП. Показ має розрізняти 0,5 kPa. Знайдіть найменшу кількість розрядів N, потрібну АЦП.

діапазон = 200 kPaроздільність = 0,5 kPa

N =

6.Збір даних і дискретизаціяСкладна

Мікроконтролер із тактовою частотою 10 МГц задає швидкість UART як f_clk/(16·D), де D — ціле число, округлене до найближчого значення. Цільова швидкість — 57600 бод. Знайдіть відсоткову похибку реальної швидкості (додатну, якщо вона завелика).

f_clk = 10 MHzціль = 57600 Bd

e = %

3Розчини

1.Системи числення

Відповідь: U = 157

Встановлення бітів: кожен біт має вагу степеня двійки (128, 64, …, 1). Одна шістнадцяткова цифра — це рівно чотири біти, а в 8-бітовому доповняльному коді крайній лівий біт має вагу −128. Порозрядні операції працюють з кожною позицією біта окремо.

Інвертуйте і додайте одиницю

99 = 0110 0011

інвертовано: 1001 1100

+1 → 1001 1101

Прочитайте як беззнакове

1001 1101₂ = 256 − 99 = 157

Відповідь

U = 157

2.Системи числення

Відповідь: M = 1406 KiB

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Біти й байти

800·600·24 = 11520000 bit = 1440000 B

Переведіть у KiB

1440000/1024 = 1406,25 KiB

Відповідь

M = 1406,25 KiB

3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 3

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте нулі

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

(A + B′ + C′)

(A′ + B + C′)

(A′ + B′ + C)

Мінімальна форма POS

F = (A + B′ + C′)(A′ + B + C′)(A′ + B′ + C)

N = 3

Відповідь

N = 3

4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 3

Прості імпліканти

Найбільші групи, які можна утворити з одиниць і X.

B′C′D, B′CD′, A′C′D, A′CD′, A′B′D, A′BD′, A′B′C, ABCD

Суттєві прості імпліканти

B′C′D, B′CD′, ABCD

N = 3

Відповідь

N = 3

5.Збір даних і дискретизація

Відповідь: N = 9

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали V_FSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Потрібна кількість кроків

200/0,5 = 400

Розряди

log₂(400) = 8,644

2⁸ = 256 < 400 ≤ 2⁹ = 512

N = 9

Відповідь

N = 9

6.Збір даних і дискретизація

Відповідь: e = −1,357 %

UART: асинхронна послідовна лінія передає кожен байт як кадр: один стартовий біт (низький), біти даних, необов’язковий біт парності та один або два стопові біти (високі). Швидкість у бодах — це кількість біт за секунду, тож один біт триває T_b = 1/бод, а кадр із n біт — n/бод. Поширений формат 8N1 має 10 біт на байт. Генератор швидкості ділить тактову частоту: бод = f_clk/(16·D) із цілим D, тож реальна швидкість трохи відрізняється від цільової; похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

Дільник

D = 10·10⁶/(16·57600) = 10,85 → 11

Реальна швидкість у бодах

10·10⁶/(16·11) = 56818 Bd

Похибка

(56818 − 57600)/57600·100 = −1,357 %

Відповідь

e = −1,357 %

Похибка менш ніж приблизно 2 % зазвичай прийнятна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics