Цифрова електроніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Системи числення

Ваги розрядів
двійкова 2k, вісімкова 8k, шістнадцяткова 16k
У десяткову
Σ dk·bk
З десяткової
діліть на основу, остачі читайте знизу вгору
Шістнадцяткова ↔ двійкова
одна шістнадцяткова цифра = 4 біти
Додатковий код
інвертуйте біти й додайте 1

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок
втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Тригери
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники
n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Послідовний лічильник
fmax = 1/(n·tpd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона
n і 2n станів

Метод

  1. Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
  2. Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
  4. Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

Збір даних і дискретизація

Критерій Найквіста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Частота аліасу
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Розмір кроку
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Похибка квантування (округлення)
±½ LSB
Код АЦП з відсіканням
D = ⌊Vin/LSB⌋
Кількість розрядів для роздільності r
2ᴺ ≥ span/r
Ідеальне SQNR, синус на повну шкалу
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Швидкість передавання даних
канали × fs × N біт/с
АЦП з мультиплексуванням
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/бод; 8N1 = 10 біт на байт; байт/с = бод/біт у кадрі
Дільник швидкості передавання (бод)
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Випишіть, що дано: частоту дискретизації, частоти сигналу, кількість розрядів, вхідний діапазон, швидкість у бодах.
  2. У задачах на дискретизацію порівнюйте кожну частоту з fs/2; вища частота виглядає як fa = |f − k·fs| з найближчим кратним fs.
  3. У задачах на роздільність знайдіть 1 LSB = VFSR/2ᴺ або найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/роздільність.
  4. У задачах на швидкість даних і лінії UART враховуйте все, що передається: канали, відліки за секунду, біти чи цілі байти на відлік, а також стартові, паритетні й стопові біти кожного кадру.

2Задачі для практики

1.Системи численняСередня
8-бітовий додатковий код0−12806403201608040201

Встановіть біти так, щоб вони зберігали −49 в 8-бітовому доповняльному коді. Яке значення U шаблону, якщо читати його як беззнакове число?

N = −498 bit
U =
2.Системи численняСкладна
3879 кодів, b = ? бітів?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

Система має дати кожному з 3879 елементів власний двійковий код однакової довжини. Яка найменша кількість бітів b потрібна?

3879
b = bit
3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня
ABCD000111100001111010110312041517060121130150140819011010

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму суми добутків (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 7, 9, 13). Скільки добутків N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 7, 9, 13)
N =
4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна
ABCD000111100001111000010302X40507X6112113X15X140809111110

Знайдіть мінімальну форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(10, 11, 12, 13) + d(4, 6, 14, 15), де d позначає байдужі стани. Скільки добутків N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(10, 11, 12, 13) + d(4, 6, 14, 15)
N =
5.Збір даних і дискретизаціяСередня
Vin​N = 6VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Знайдіть ідеальне відношення сигнал/шум квантування SQNR 6-розрядного АЦП для синусоїди на повну шкалу.

N = 6
SQNR = dB
6.Збір даних і дискретизаціяСкладна
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Для аудіовимірювання потрібне ідеальне відношення сигнал/шум квантування щонайменше 100 дБ для синусоїди на повну шкалу. Знайдіть найменшу кількість розрядів АЦП N.

SQNR ≥ 100 dB
N =

3Розчини

1.Системи числення

Відповідь: U = 207

Встановлення бітів: кожен біт має вагу степеня двійки (128, 64, …, 1). Одна шістнадцяткова цифра — це рівно чотири біти, а в 8-бітовому доповняльному коді крайній лівий біт має вагу −128. Порозрядні операції працюють з кожною позицією біта окремо.

Інвертуйте і додайте одиницю

49 = 0011 0001
інвертовано: 1100 1110
+1 → 1100 1111

Прочитайте як беззнакове

1100 1111₂ = 256 − 49 = 207

Відповідь

U = 207
2.Системи числення

Відповідь: b = 12 bit

Позиційні системи числення: кожна цифра варта свого значення, помноженого на степінь основи. У двійковій системі розряди варті 1, 2, 4, 8, 16, …, у шістнадцятковій 1, 16, 256, …, де A–F означають 10–15. У 8-бітовому додатковому коді крайній лівий біт вартий −128 замість +128; так зберігаються від'ємні числа.

Степені двійки

211 = 2048 < 3879
212 = 4096 ≥ 3879

Відповідь

b = 12
3.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 3

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

ABCD000111100001111010110312041517060121130150140819011010

Згрупуйте одиниці

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

C′D
A′B′D′
A′BD

Мінімальна форма SOP

F = C′D + A′B′D′ + A′BD
N = 3

Відповідь

N = 3
4.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 2

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Прості імпліканти

Найбільші групи, які можна утворити з одиниць і X.

BD′, AC, AB
ABCD000111100001111000010302X40507X6112113X15X140809111110

Мінімальне покриття

F = AC + AB
N = 2

Відповідь

N = 2
5.Збір даних і дискретизація

Відповідь: SQNR = 37,88 dB

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали VFSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = VFSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Ідеальне SQNR

SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB

Відповідь

SQNR = 37,88 dB
6.Збір даних і дискретизація

Відповідь: N = 17

Роздільність АЦП: N-розрядний перетворювач ділить свій діапазон повної шкали VFSR на 2ᴺ кодів, від 0 до 2ᴺ − 1. Один крок дорівнює 1 LSB = VFSR/2ᴺ: найменша зміна, яку може показати перетворювач. АЦП з відсіканням дає код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП із округленням ніколи не відхиляється від істинного значення більш ніж на ½ LSB, це його похибка квантування. Кожен додатковий розряд зменшує LSB удвічі й додає близько 6 дБ до ідеального відношення сигнал/шум квантування SQNR = 6,02·N + 1,76 дБ для синуса на повну шкалу. Щоб досягти роздільності r на діапазоні, оберіть найменше N, для якого 2ᴺ ≥ діапазон/r.

Розв’яжіть відносно N

N ≥ (100 − 1,76)/6,02 = 16,32

Округліть угору

N = 17
перевірка: 6,02·17 + 1,76 = 104,1 dB ≥ 100 dB

Відповідь

N = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics