Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна q ↔ p? Клікніть її.
q ↔ p
1(q → p) ∧ (¬p → ¬q)
2(q → p) ∨ (p → q)
3(q → p) ∧ (p → q)
4q ∧ p
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Міркування з передумовами p → q; q і висновком p некоректне. Клікніть рядок таблиці істинності, що є контрприкладом.
p → qq∴ p
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Множини, відношення та функціїСередня
Відношення R на {1, 2, 3, 4} зображено орієнтованим графом (петля означає (x, x) ∈ R). Виконується рівно одна з чотирьох властивостей. Клікніть її.
Скільки різних відношень існує на множині з 3 елементів? Позначте число N.
|X| = 3
N =
5.Теорія графівСередня
Зв’язний граф має 8 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?
|V| = 8|E| = 12
k =
6.Теорія графівСкладна
Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.
початок: Aкінець: F
d(F) =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 77 за модулем 83: число x, де 0 < x < 83 і 77·x ≡ 1 (mod 83).
a = 77n = 83
77−1 mod 83 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
53 — просте. Скористайтеся малою теоремою Ферма, щоб знайти 2413752 mod 53.
p = 53k = 13752
2413752 mod 53 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: (q → p) ∧ (p → q)
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a ↔ b означає, що імплікація виконується в обидва боки: (a → b) ∧ (b → a).
q ↔ p ≡ (q → p) ∧ (p → q)
Перевірте за таблицею істинності
p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 1 1 0 0
p = 0, q = 1: 0 | 0 1 0 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0
Відповідь
(q → p) ∧ (p → q)
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: p = 0, q = 1
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Передумови та висновок рядок за рядком
p = 1, q = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 0: 0 0 | 1
p = 0, q = 1: 1 1 | 0
p = 0, q = 0: 1 0 | 0
Контрприклад
p = 0, q = 1
Відповідь
p = 0, q = 1
Міркування такої форми схоже на коректне правило, але одного рядка досить, щоб показати, що це не так.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: рефлексивне
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
рефлексивне
виконується
симетрична
не виконується: (4, 2) ∈ R, (2, 4) ∉ R
антисиметричне
не виконується: (1, 4), (4, 1) ∈ R
транзитивне
не виконується: (1, 4), (4, 2) ∈ R, (1, 2) ∉ R
Відповідь
рефлексивне
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: N = 512
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Порахуйте вільні вибори
N = 29 = 512
Відповідь
N = 512
5.Теорія графів
Відповідь: k = 5
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ребра остовного дерева
8 − 1 = 7
Ребра для вилучення
k = 12 − 7 = 5
Відповідь
k = 5
6.Теорія графів
Відповідь: d(F) = 32
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.
A (0): B: 15, C: 2
C (2)
B (15): D: 27, E: 28
D (27): F: 35
E (28): F: 32
F (32)
Найкоротший шлях
A → B → E → F
d(F) = 32
Відповідь
d(F) = 32
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 77−1 mod 83 = 69
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·77 (mod 83).
r = 83, t = 0
r = 77, q = 1, t = 1
r = 6, q = 12, t = −1
r = 5, q = 1, t = 13
r = 1, q = 5, t = −14
Обернена
1 ≡ −14·77 (mod 83)
x = 69
перевірка: 77·69 = 5313 = 64·83 + 1
Відповідь
77−1 mod 83 = 69
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 2413752 mod 53 = 15
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.