Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна a → c? Клікніть її.
a → c
1¬a ∧ c
2¬a ∨ c
3a ∨ ¬c
4¬a → ¬c
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Задано передумови r → q; r. Який висновок з них випливає? Клікніть його.
r → qr
1r ∧ ¬q
2q
3¬r
4¬q
3.Множини, відношення та функціїСередня
Кожне число на діаграмі Вена — це кількість елементів у цій області. Знайдіть |(C ∩ B) ∪ (C ∩ B′)|.
|U| = 62
|(C ∩ B) ∪ (C ∩ B′)| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
На X = {1, 2, …, 11} відношення R виконується, коли x ≡ y (mod 5). Скільки впорядкованих пар містить R? Позначте це число |R|.
X = {1, …, 11}x R y ⟺ 5 | (x − y)
|R| =
5.Теорія графівСередня
Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.
K5
H =
6.Теорія графівСкладна
Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.
|V| = 6|E| = 8
W =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Розв’яжіть 35x ≡ 14 (mod 79). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 79.
35x ≡ 14 (mod 79)
x =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Зашифруйте повідомлення m = 26 відкритим ключем RSA (n, e) = (187, 23). Знайдіть шифротекст c.
n = 187e = 23m = 26
c =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬a ∨ c
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0, тож це те саме, що ¬a ∨ b.
a → c ≡ ¬a ∨ c
Перевірте за таблицею істинності
a = 1, c = 1: 1 | 0 1 1 1
a = 1, c = 0: 0 | 0 0 1 1
a = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 0
a = 0, c = 0: 1 | 0 1 1 1
Відповідь
¬a ∨ c
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: q
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Рядки, де всі передумови істинні
q = 1, r = 1: r ∧ ¬q = 0, q = 1, ¬r = 0, ¬q = 0
Висновок
q (modus ponens)
Відповідь
q
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |(C ∩ B) ∪ (C ∩ B′)| = 26
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Області виразу
A′ ∩ B′ ∩ C: 11
A ∩ B′ ∩ C: 6
A′ ∩ B ∩ C: 8
A ∩ B ∩ C: 1
Додайте
|(C ∩ B) ∪ (C ∩ B′)| = 11 + 6 + 8 + 1 = 26
Відповідь
|(C ∩ B) ∪ (C ∩ B′)| = 26
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: |R| = 25
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Класи
залишок 0: 2
залишок 1: 3
залишок 2: 2
залишок 3: 2
залишок 4: 2
Пари
|R| = 2² + 3² + 2² + 2² + 2² = 25
Відповідь
|R| = 25
5.Теорія графів
Відповідь: H = 12
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Порахуйте
H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12
Відповідь
H = 12
6.Теорія графів
Відповідь: W = 32
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Крускала
BC (1): взяти
AC (2): взяти
EF (5): взяти
CE (10): взяти
BE (12): пропустити, замикає цикл
DF (14): взяти
Загальна вага
W = 1 + 2 + 5 + 10 + 14 = 32
Відповідь
W = 32
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 32
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обернений до 35
r = 79, t = 0
r = 35, q = 2, t = 1
r = 9, q = 3, t = −2
r = 8, q = 1, t = 7
r = 1, q = 8, t = −9
35−1 ≡ 70 (mod 79)
Розв’яжіть
x ≡ 70·14 = 980 ≡ 32 (mod 79)
перевірка: 35·32 = 1120 ≡ 14 (mod 79)
Відповідь
x = 32
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: c = 53
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.