Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Ви хочете довести ¬c → ¬a від контрапозиції. Яку імплікацію ви доводите натомість? Клікніть її.
¬c → ¬a
1¬c ∧ ¬¬a
2¬¬c → ¬¬a
3¬¬a → ¬¬c
4¬a → ¬c
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))
1∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
2∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
4∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
3.Множини, відношення та функціїСередня
Рівно одна область діаграми Вена є множиною (C ∩ A′) ∩ (B′ ∩ A′). Клікніть її номер.
(C ∩ A′) ∩ (B′ ∩ A′)
1область 1
2область 2
3область 3
4область 4
5область 5
6область 6
7область 7
8область 8
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Скільки існує ін’єктивних (один до одного) функцій f: A → B, якщо |A| = 5 і |B| = 6? Позначте число N.
|A| = 5|B| = 6
N =
5.Теорія графівСередня
Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.
|V| = 5|E| = 5
1Ейлерів цикл
2Ейлерів шлях, не цикл
3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.
початок: Aкінець: F
d(F) =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 17 за модулем 19: число x, де 0 < x < 19 і 17·x ≡ 1 (mod 19).
a = 17n = 19
17−1 mod 19 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Скільки розв’язків N має 44x ≡ 84 (mod 90) серед {0, 1, …, 89}?
44x ≡ 84 (mod 90)
N =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬¬a → ¬¬c
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Частини імплікації
a = ¬c, b = ¬a
Контрапозиція
¬b → ¬a = ¬¬a → ¬¬c
Відповідь
¬¬a → ¬¬c
Контрапозиція еквівалентна вихідному твердженню, тож доведення її доводить і твердження.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Відповідь
∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: область 8
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Всередині чи поза кожною множиною
A′ ∩ B′ ∩ C
Область
область 8
Відповідь
область 8
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: N = 720
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Порахуйте
N = 6!/(6 − 5)! = 720
Відповідь
N = 720
5.Теорія графів
Відповідь: Ейлерів цикл
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.
A (0): B: 5
B (5): C: 15, D: 13, E: 14
D (13): F: 26
E (14)
C (15)
F (26)
Найкоротший шлях
A → B → D → F
d(F) = 26
Відповідь
d(F) = 26
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 17−1 mod 19 = 9
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·17 (mod 19).
r = 19, t = 0
r = 17, q = 1, t = 1
r = 2, q = 8, t = −1
r = 1, q = 2, t = 9
Обернена
1 ≡ 9·17 (mod 19)
x = 9
перевірка: 17·9 = 153 = 8·19 + 1
Відповідь
17−1 mod 19 = 9
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: N = 2
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).