Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна p → q? Клікніть її.
p → q
1¬p → ¬q
2p ∨ ¬q
3¬p ∨ q
4q → p
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∃x (P(x) ∧ Q(x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∃x (P(x) ∧ Q(x))
1∃x (P(x) → ¬Q(x))
2∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
3∀x (P(x) → ¬Q(x))
4∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
Опитування 47 осіб показує, що 23 мають ноутбук (L), 31 — планшет (T), а 13 — смарт-годинник (W). 12 мають L і T, 4 мають L і W, 10 мають T і W, а 2 мають усі три. Скільки входять рівно до двох із трьох множин? Позначте число n.
|U| = 47
n =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Стрілкова діаграма показує функцію f: A → B, де A = {1, 2, 3, 4} і B = {a, b, c}. Клікніть опис, що підходить для f.
f = {(1, b), (2, c), (3, a), (4, a)}
1ін’єктивна, не сюр’єктивна
2сюр’єктивна, не ін’єктивна
3бієктивна
4жодна з цих
5.Теорія графівСередня
Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.
|V| = 6|E| = 8
1Ейлерів цикл
2Ейлерів шлях, не цикл
3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.
початок: Aкінець: F
d(F) =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 12 за модулем 19: число x, де 0 < x < 19 і 12·x ≡ 1 (mod 19).
a = 12n = 19
12−1 mod 19 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Скільки розв’язків N має 21x ≡ 28 (mod 49) серед {0, 1, …, 48}?
21x ≡ 28 (mod 49)
N =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬p ∨ q
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0, тож це те саме, що ¬a ∨ b.
p → q ≡ ¬p ∨ q
Перевірте за таблицею істинності
p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 1 1 0 1
p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1
Відповідь
¬p ∨ q
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∀x (P(x) → ¬Q(x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x (P(x) → ¬Q(x))
Відповідь
∀x (P(x) → ¬Q(x))
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: n = 20
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр і пари
L ∩ T ∩ W: 2
L ∩ T лише: 12 − 2 = 10
L ∩ W лише: 4 − 2 = 2
T ∩ W лише: 10 − 2 = 8
Окремі множини
L лише: 23 − 10 − 2 − 2 = 9
T лише: 31 − 10 − 8 − 2 = 11
W лише: 13 − 2 − 8 − 2 = 1
Відповідь
10 + 2 + 8 = 20
Відповідь
n = 20
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: сюр’єктивна, не ін’єктивна
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Ін’єктивна?
f(3) = f(4) = a → не ін’єктивна
Сюр’єктивна?
кожен елемент B отримує стрілку → сюр’єктивна
Відповідь
сюр’єктивна, не ін’єктивна
Відповідь
сюр’єктивна, не ін’єктивна
5.Теорія графів
Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.
6.Теорія графів
Відповідь: d(F) = 29
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.
A (0): B: 6, C: 15
B (6): C: 12, D: 20
C (12): G: 27
D (20): E: 32, F: 29
G (27)
F (29)
E (32)
Найкоротший шлях
A → B → D → F
d(F) = 29
Відповідь
d(F) = 29
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 12−1 mod 19 = 8
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·12 (mod 19).
r = 19, t = 0
r = 12, q = 1, t = 1
r = 7, q = 1, t = −1
r = 5, q = 1, t = 2
r = 2, q = 2, t = −3
r = 1, q = 2, t = 8
Обернена
1 ≡ 8·12 (mod 19)
x = 8
перевірка: 12·8 = 96 = 5·19 + 1
Відповідь
12−1 mod 19 = 8
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: N = 7
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).