Дискретна математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Логіка висловлювань і доведення

Рядки таблиці істинності: 2ⁿ
Імплікація: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Заперечена імплікація: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Еквіваленція: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Закони де Моргана: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Закони дистрибутивності: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Заперечення кванторів: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Метод

Порахуйте різні змінні: таблиця істинності має 2ⁿ рядків, і починається вона з рядка, де всі змінні дорівнюють 1.
Дайте кожній підформулі власний стовпець і заповнюйте стовпці зсередини назовні.
Застосовуйте правило кожного зв’язника: → дорівнює 0 лише для 1 → 0, ↔ дорівнює 1, коли обидві частини збігаються.
Для еквівалентностей порівнюйте останні стовпці рядок за рядком; для міркування дивіться лише на рядки, де кожна передумова дорівнює 1.
Щоб заперечити твердження з квантором, перенесіть ¬ досередини, поміняйте ∀ і ∃ та заперечте внутрішню формулу.

Множини, відношення та функції

Дві множини: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Три множини: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Різниця та доповнення: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Булеан і декартів добуток: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Підмножини розміру k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Функції A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Відношення на n елементах: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Композиція: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Метод

Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

Теорія чисел і арифметика за модулем

Ділення із залишком: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Метод

Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Задачі для практики

1.Логіка висловлювань і доведенняСередня

У скількох із 8 рядків таблиці істинності ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) істинне? Позначте це число N.

((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q)

N =

2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна

Скільки з 16 рядків таблиці істинності роблять ((a ↔ c) ↔ (d ∧ b)) → (a ↔ b) істинним? Позначте це число N.

((a ↔ c) ↔ (d ∧ b)) → (a ↔ b)

N =

3.Множини, відношення та функціїСередня

Рівно одна область діаграми Вена є множиною (C ∩ A) ∩ (A − B). Клікніть її номер.

(C ∩ A) ∩ (A − B)

1область 1
2область 2
3область 3
4область 4
5область 5
6область 6
7область 7
8область 8

4.Множини, відношення та функціїСкладна

Стрілкова діаграма показує функцію f: A → B, де A = {1, 2, 3, 4} і B = {a, b, c, d}. Клікніть опис, що підходить для f.

f = {(1, c), (2, b), (3, a), (4, d)}

1ін’єктивна, не сюр’єктивна
2сюр’єктивна, не ін’єктивна
3бієктивна
4жодна з цих

5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 10 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 10|E| = 12

k =

6.Теорія графівСкладна

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від D до B? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2

N =

7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня

Знайдіть функцію Ейлера φ(49), кількість цілих чисел від 1 до 49, взаємно простих з 49.

n = 49 = 7²

φ(49) =

8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна

Зашифруйте повідомлення m = 420 відкритим ключем RSA (n, e) = (1247, 23). Знайдіть шифротекст c.

n = 1247e = 23m = 420

c =

3Розчини

1.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: N = 4

Таблиці істинності: формула з n різними змінними має 2ⁿ рядків, по одному для кожної комбінації значень істинності (1 = істина, 0 = хибність). Працюйте зсередини назовні й дайте кожній підформулі власний стовпець. ¬a змінює значення; a ∧ b дорівнює 1 лише тоді, коли обидва дорівнюють 1; a ∨ b дорівнює 0 лише тоді, коли обидва дорівнюють 0; a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0; a ↔ b дорівнює 1, коли обидві частини рівні.

Таблиця істинності рядок за рядком

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, r ∨ ¬q = 1, (r ∨ ¬q) → p = 1, r ∧ q = 1, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, r ∨ ¬q = 0, (r ∨ ¬q) → p = 1, r ∧ q = 0, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, r ∨ ¬q = 1, (r ∨ ¬q) → p = 1, r ∧ q = 0, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, r ∨ ¬q = 1, (r ∨ ¬q) → p = 1, r ∧ q = 0, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, r ∨ ¬q = 1, (r ∨ ¬q) → p = 0, r ∧ q = 1, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, r ∨ ¬q = 0, (r ∨ ¬q) → p = 1, r ∧ q = 0, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, r ∨ ¬q = 1, (r ∨ ¬q) → p = 0, r ∧ q = 0, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, r ∨ ¬q = 1, (r ∨ ¬q) → p = 0, r ∧ q = 0, ((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q) = 1

Порахуйте рядки зі значенням 1

((r ∨ ¬q) → p) → (r ∧ q): 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1

N = 4

Відповідь

N = 4

2.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: N = 12

Стовпці

a ↔ c; d ∧ b; (a ↔ c) ↔ (d ∧ b); a ↔ b; ((a ↔ c) ↔ (d ∧ b)) → (a ↔ b)

Розділення за a

a = 1: 6

a = 0: 6

N = 6 + 6 = 12

Відповідь

N = 12

3.Множини, відношення та функції

Відповідь: область 8

Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Всередині чи поза кожною множиною

A ∩ B′ ∩ C

Область

область 8

Відповідь

область 8

4.Множини, відношення та функції

Відповідь: бієктивна

Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.

Ін’єктивна?

кожен елемент B отримує не більше однієї стрілки → ін’єктивна

Сюр’єктивна?

кожен елемент B отримує стрілку → сюр’єктивна

Відповідь

бієктивна

Відповідь

бієктивна

5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

10 − 1 = 9

Ребра для вилучення

k = 12 − 9 = 3

Відповідь

k = 3

6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. K_n має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 0 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 0 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 0

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 0 1 0

Спільні сусіди

(M²)_DB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 + 0·0 = 1

Відповідь

N = 1

7.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: φ(49) = 42

Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Прості множники

49 = 7²

Функція Ейлера

φ(49) = 49 − 7 = 42

Відповідь

φ(49) = 42

8.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: c = 287

Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.

Повторне піднесення до квадрата

23 = 16 + 4 + 2 + 1

420¹ ≡ 420 (mod 1247)

420² ≡ 573 (mod 1247)

420⁴ ≡ 368 (mod 1247)

420⁸ ≡ 748 (mod 1247)

420¹⁶ ≡ 848 (mod 1247)

420²³ ≡ 420·573·368·848 ≡ 287 (mod 1247)

Шифротекст

c = 287

Відповідь

c = 287

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics