Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Ви хочете довести ¬a → (c ∧ b) від супротивного. Яке твердження ви припускаєте на початку? Клікніть його.
¬a → (c ∧ b)
1¬¬a ∧ ¬(c ∧ b)
2¬¬a → ¬(c ∧ b)
3¬a ∧ ¬(c ∧ b)
4¬¬a ∧ (c ∧ b)
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Міркування з передумовами p → q; ¬p і висновком ¬q некоректне. Клікніть рядок таблиці істинності, що є контрприкладом.
p → q¬p∴ ¬q
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Множини, відношення та функціїСередня
У групі з 82 студентів 42 розмовляють французькою (F), 42 — німецькою (G), а 32 — іспанською (S). 16 розмовляють французькою й німецькою, 14 — французькою й іспанською, 15 — німецькою й іспанською, а 2 розмовляють усіма трьома. Скільки входять рівно до двох із трьох множин? Позначте число n.
|U| = 82
n =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Скільки існує функцій f: A → B, якщо |A| = 5 і |B| = 4? Позначте число N.
|A| = 5|B| = 4
N =
5.Теорія графівСередня
Дерево має 4 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?
4 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини C. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.
початок: Ck = 4
1ребро AB
2ребро AC
3ребро BD
4ребро CE
5ребро DE
6ребро DF
7ребро EF
8ребро GC
9ребро GD
10ребро GE
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 9 за модулем 47: число x, де 0 < x < 47 і 9·x ≡ 1 (mod 47).
a = 9n = 47
9−1 mod 47 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
79 — просте. Скористайтеся малою теоремою Ферма, щоб знайти 2128051 mod 79.
p = 79k = 28051
2128051 mod 79 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬a ∧ ¬(c ∧ b)
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Частини імплікації
a = ¬a, b = c ∧ b
Заперечення імплікації
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬a ∧ ¬(c ∧ b)
Відповідь
¬a ∧ ¬(c ∧ b)
Якщо припущення веде до суперечності, імплікація має бути істинною.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: p = 0, q = 1
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Передумови та висновок рядок за рядком
p = 1, q = 1: 1 0 | 0
p = 1, q = 0: 0 0 | 1
p = 0, q = 1: 1 1 | 0
p = 0, q = 0: 1 1 | 1
Контрприклад
p = 0, q = 1
Відповідь
p = 0, q = 1
Міркування такої форми схоже на коректне правило, але одного рядка досить, щоб показати, що це не так.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: n = 39
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр і пари
F ∩ G ∩ S: 2
F ∩ G лише: 16 − 2 = 14
F ∩ S лише: 14 − 2 = 12
G ∩ S лише: 15 − 2 = 13
Окремі множини
F лише: 42 − 14 − 12 − 2 = 14
G лише: 42 − 14 − 13 − 2 = 13
S лише: 32 − 12 − 13 − 2 = 5
Відповідь
14 + 12 + 13 = 39
Відповідь
n = 39
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: N = 1024
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Порахуйте
N = 45 = 1024
Відповідь
N = 1024
5.Теорія графів
Відповідь: L = 22
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Лема про рукостискання для дерева
L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22
Відповідь
L = 22
Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.
6.Теорія графів
Відповідь: ребро BD
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Пріма
1. GC (5)
2. GE (6)
3. GD (14)
4. BD (4)
5. AB (3)
6. DF (9)
номер ребра 4
BD
Відповідь
ребро BD
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 9−1 mod 47 = 21
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·9 (mod 47).
r = 47, t = 0
r = 9, q = 5, t = 1
r = 2, q = 4, t = −5
r = 1, q = 2, t = 21
Обернена
1 ≡ 21·9 (mod 47)
x = 21
перевірка: 9·21 = 189 = 4·47 + 1
Відповідь
9−1 mod 47 = 21
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 2128051 mod 79 = 22
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.