Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна q → r? Клікніть її.
q → r
1¬r → ¬q
2¬r ∧ ¬q
3¬q → ¬r
4r → q
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Задано передумови r → p; r. Який висновок з них випливає? Клікніть його.
r → pr
1p
2¬p
3r ∧ ¬p
4¬r
3.Множини, відношення та функціїСередня
R = {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 4), (4, 4)} — відношення на {1, 2, 3, 4}. Яке найменше число k впорядкованих пар треба додати до R, щоб воно стало рефлексивним?
R = {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 4), (4, 4)}
k =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Функції f і g на {1, 2, 3, 4, 5} задано таблицями. Знайдіть (f ∘ f)(3).
Зв’язний граф має 15 вершин і 26 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?
|V| = 15|E| = 26
k =
6.Теорія графівСкладна
Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.
початок: Aраунд 5
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть найменше додатне ціле x, де x ≡ 6 (mod 9) і x ≡ 7 (mod 10).
x ≡ 6 (mod 9)x ≡ 7 (mod 10)
x =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Скористайтеся повторним піднесенням до квадрата, щоб знайти 10198 mod 43.
a = 10k = 198n = 43
10198 mod 43 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬r → ¬q
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
Імплікація еквівалентна своїй контрапозиції ¬b → ¬a, а не оберненій b → a чи протилежній ¬a → ¬b.
q → r ≡ ¬r → ¬q
Перевірте за таблицею істинності
q = 1, r = 1: 1 | 1 0 1 1
q = 1, r = 0: 0 | 0 0 1 1
q = 0, r = 1: 1 | 1 0 0 0
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1
Відповідь
¬r → ¬q
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: p
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Рядки, де всі передумови істинні
p = 1, r = 1: p = 1, ¬p = 0, r ∧ ¬p = 0, ¬r = 0
Висновок
p (modus ponens)
Відповідь
p
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: k = 2
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Пари для додавання
{(1, 1), (3, 3)}
Порахуйте
k = 2
Відповідь
k = 2
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: (f ∘ f)(3) = 3
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Внутрішня функція
f(3) = 5
Зовнішня функція
f(5) = 3
(f ∘ f)(3) = 3
Відповідь
(f ∘ f)(3) = 3
5.Теорія графів
Відповідь: k = 12
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ребра остовного дерева
15 − 1 = 14
Ребра для вилучення
k = 26 − 14 = 12
Відповідь
k = 12
6.Теорія графів
Відповідь: F
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
1. A (0): B: 6, C: 7
2. B (6): D: 8, E: 16
3. C (7)
4. D (8): E: 14, F: 9
5. F (9)
6. E (14)
раунд 5
F
Відповідь
F
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 87
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Перша конгруенція
x = 6 + 9k
Друга конгруенція
6 + 9k ≡ 7 (mod 10) → 9k ≡ 1 (mod 10)
k ≡ 9·1 ≡ 9 (mod 10)
Результат
x = 6 + 9·9 = 87
x = 87
перевірка: 87 mod 9 = 6, 87 mod 10 = 7
Відповідь
x = 87
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 10198 mod 43 = 41
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.