Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 80 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 80 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 5 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 5 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 4 kg і 1 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 35 N тягне передній брусок масою 11 kg; брусок масою 6 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 6 kgm₂ = 11 kgF = 35 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 31 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 31 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 180 m має нахил полотна 20°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 180 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 25,3 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 5,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 5 kgh = 25,3 mR = 5,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 0,2 kg висить на легкій нитці завдовжки 3 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 60° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 0,2 kgL = 3 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 3 mL = 1,5 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 15 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 3 kgh = 15 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1700 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 19 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1200 kgd = 19 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 9,5 kg і довжиною 0,9 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вільного кінця, коли стрижень проходить вертикальне положення.

m = 9,5 kgL = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний суцільний диск (маса 29 kg, радіус 0,1 m) вільно обертається з частотою 350 rpm навколо вертикального вала без тертя. На нього зі стану спокою опускають тонке кільце масою 2 kg того самого радіуса, центроване на валу, і обидва тіла швидко починають обертатися разом. Яку кінетичну енергію ΔE втрачено в процесі?

M_disc = 29 kgM_ring = 2 kgR = 0,1 mn₁ = 350 rpm

ΔE = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 12, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 18. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 1,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 96%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 150 мм і шків 450 мм, центри яких розташовані на відстані 800 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 150 mmd₂ = 450 mmC = 800 mm

θ = °

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,1 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 12 g, що летить зі швидкістю 350 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 4 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 200 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 12 gv = 350 m/sM = 4 kgk = 200 N/m

A = cm

19.Механічні коливанняСередня

Маса 12 kg спирається на пружину жорсткістю 25 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 50 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 12 kgk = 25 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 40 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 5 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,778 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/8 = 2,778 s

Відповідь

t = 2,778 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 21,27 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9,81) = 1,274 m

Висота над землею

h_max = 20 + 1,274 = 21,27 m

Відповідь

h_max = 21,27 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: T = 15,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (4 − 1)·9,81/(4 + 1) = 5,886 m/s²

Сила натягу з рівняння для легшого вантажу

T − m₂·g = m₂·a → T = 1·(9,81 + 5,886) = 15,7 N

Відповідь

T = 15,7 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,5873 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (35 − 25,02)/17 = 0,5873 m/s²

Відповідь

a = 0,5873 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,742 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18,35 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·18,35/9,81 = 3,742 s

Відповідь

t = 3,742 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 56,88 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 31·cos 55° = 17,78 m/s

v_y0 = 31·sin 55° = 25,39 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(25,39² + 2·9,81·5) = 27,26 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 27,26/17,78 → α = 56,88°

Відповідь

α = 56,88°

7.Рух по колу

Відповідь: v = 25,35 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(180·9,81·tan 20°) = 25,35 m/s

Відповідь

v = 25,35 m/s

(91,27 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 500,3 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·25,3 = 496,4 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 5·496,4/5,5 + 49,05 = 500,3 N

Відповідь

N_bottom = 500,3 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 3,924 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 60°) = 29,43 m²/s²

Сили внизу

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·29,43/3 = 3,924 N

Відповідь

T = 3,924 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,924 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,278 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(3 − 0,2·1,5) = 13,24 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,7) = 7,278 m/s

Відповідь

v = 7,278 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 259 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,15) = 1,716 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 3)·1,716/0,02 = 259 m/s

Відповідь

v = 259 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 28,52 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·19) = 16,72 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·16,72/1700 = 28,52 m/s

Відповідь

v₁ = 28,52 m/s

(102,7 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 5,147 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Втрата потенціальної енергії

m·g·L/2 = 9,5·9,81·0,45 = 41,94 J

Момент інерції відносно шарніра

I_O = m·L²/3 = 9,5·0,9²/3 = 2,565 kg·m²

Енергетичний баланс

½·I_O·ω² = 41,94 → ω = √(2·41,94/2,565) = 5,718 rad/s

v = ω·L = 5,718·0,9 = 5,147 m/s

Відповідь

v = 5,147 m/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ΔE = 11,81 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Моменти інерції

I₁ = ½·29·0,1² = 0,145 kg·m²

I₂ = 2·0,1² = 0,02 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 350·0,145/0,165 = 307,6 rpm

Кінетична енергія до й після

E₁ = ½·0,145·36,65² = 97,39 J

E₂ = ½·0,165·32,21² = 85,59 J

ΔE = 97,39 − 85,59 = 11,81 J

Відповідь

ΔE = 11,81 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 21,49 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/100,5 = 14,92 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 14,92·18/12·0,96 = 21,49 N·m

Відповідь

T₂ = 21,49 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 158,4 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,1875) = 10,81°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·10,81 = 158,4°

Відповідь

θ = 158,4°

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,104 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,1/9,81) = 2,104 s

Відповідь

T = 2,104 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: A = 14,83 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,012·350/4,012 = 1,047 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(200/4,012) = 7,06 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 1,047/7,06 = 0,1483 m = 14,83 cm

Відповідь

A = 14,83 cm

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04564

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·12) = 1095 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 50/1095 = 0,04564

Відповідь

ζ = 0,04564

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,082 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 5 = 15 kN/m

Власна частота

ω_n = √(15000/40) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Відповідь

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics