Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 4,7 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 4,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 10 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 24 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 40 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1700 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 6 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 100 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1700 kgv = 6 m/sr = 100 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 26,25 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 7,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 26,25 mR = 7,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 15 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,4d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 35° і його тягнуть угору сталою силою 30 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 7 m угору схилом.

m = 2 kgF = 30 Nθ = 35°μ = 0,2d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 3 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 2,5 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 10 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 14 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,15 kgv_in = 10 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 4,5 kg і довжиною 1,9 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вільного кінця, коли стрижень проходить вертикальне положення.

m = 4,5 kgL = 1,9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

порожниста куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 20° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменший коефіцієнт тертя спокою μ_s, який не допускає проковзування.

θ = 20°I = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 3 kW із частотою обертання 1450 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 45, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 50. ККД зубчастої пари — 95 %. Знайдіть вихідний крутний момент T₂ на валу колеса.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 95%

T₂ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою 1450 rpm приводить колесо A (12 зубців), зчеплене з колесом B (36 зубців). Колесо C (24 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (60 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 1,5 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 36C = 24D = 60η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,9 kg на пружині з k = 170 N/m відтягують на 8 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,9 kgk = 170 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 20 mm через 3 циклів іде пік 9,4 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 20 mmx₃ = 9,4 mmn = 3

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 60 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 3,472 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/4 = 3,472 s

Відповідь

t = 3,472 s

2.Кінематика

Відповідь: d = 95,85 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(4,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1612 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1612))/(2·4,905) = 4,421 s

Глибина

d = ½·9,81·4,421² = 95,85 m

Відповідь

d = 95,85 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,051 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,3·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,2298) = 4,051 m/s²

Відповідь

a = 4,051 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,18 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 0)/9 = 2,18 m/s²

Відповідь

a = 2,18 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,068 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21,75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10,14 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·10,14/9,81 = 2,068 s

Відповідь

t = 2,068 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,925 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 15° = 33,81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 15° = 9,059 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 40 + 9,059·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,059 + √(82,06 + 784,8))/9,81 = 3,925 s

Відповідь

t = 3,925 s

7.Рух по колу

Відповідь: N = 16065 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9,81 − 1700·6²/100 = 16677 − 612 = 16065 N

Відповідь

N = 16065 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 39,24 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·26,25 = 515 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 0,5·515/7,5 + 4,905 = 39,24 N

Відповідь

N_bottom = 39,24 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,723 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,5 − 0,4·0,866)) = 6,723 m/s

Відповідь

v = 6,723 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,43 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 11,25 N

μ·mg·cos θ = 3,214 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (30 − 14,47)·7 = 108,7 J

v = √(2·108,7/2) = 10,43 m/s

Відповідь

v = 10,43 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 160,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2,5)·0,7672/0,012 = 160,6 m/s

Відповідь

v = 160,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 3,6 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(14 + 10) = 3,6 N·s

Відповідь

J = 3,6 N·s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 7,478 m/s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Втрата потенціальної енергії

m·g·L/2 = 4,5·9,81·0,95 = 41,94 J

Момент інерції відносно шарніра

I_O = m·L²/3 = 4,5·1,9²/3 = 5,415 kg·m²

Енергетичний баланс

½·I_O·ω² = 41,94 → ω = √(2·41,94/5,415) = 3,936 rad/s

v = ω·L = 3,936·1,9 = 7,478 m/s

Відповідь

v = 7,478 m/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: μ_s = 0,1456

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,6667·m·r²·(a/r) → f = 0,6667·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/1,667 = 2,013 m/s²

Потрібне тертя

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,6667·tan 20°/1,667 = 0,1456

Відповідь

μ_s = 0,1456

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₂ = 20,85 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Вихідний крутний момент

T₂ = 19,76·50/45·0,95 = 20,85 N·m

Відповідь

T₂ = 20,85 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 68,28 N·m

Вихідна частота обертання

n_out = 1450·(12/36)·(24/60) = 193,3 rpm

ω_out = 2π·193,3/60 = 20,25 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 1500·0,96² = 1382 W

T_out = P_out/ω_out = 1382/20,25 = 68,28 N·m

Відповідь

T_out = 68,28 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,994 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2/2π)² = 0,994 m

Відповідь

L = 0,994 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 15,11 m/s²

Кутова частота

ω = √(170/0,9) = 13,74 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,08·13,74² = 15,11 m/s²

Відповідь

a_max = 15,11 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,04002

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(20/9,4) = 0,2517

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2517/√(39,48 + 0,06334) = 0,04002

Відповідь

ζ = 0,04002

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 70 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 60 = 70 kN/m

Відповідь

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics