Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 100 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,3 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,3 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 10,5 m/s і зупиняється, пройшовши 28 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 10,5 m/sd = 28 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 12 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 34 m/s під кутом 15° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 34 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 145 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 145 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,6 kg на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,6 kgr = 1,5 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,35. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 4 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,35d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 30° і його тягнуть угору сталою силою 45 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 10 m угору схилом.

m = 5 kgF = 45 Nθ = 30°μ = 0,15d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 35° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 1,5 kgL = 1,6 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Однорідний тонкий стрижень масою 9 kg і довжиною 2,5 m закріплено шарнірно за один кінець і відпускають зі стану спокою з горизонтального положення. Нехтуйте тертям і візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кутову швидкість ω стрижня, коли він проходить вертикальне положення.

m = 9 kgL = 2,5 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний тонкий стрижень масою 7,5 kg і довжиною 1,7 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 40 g, що летить горизонтально зі швидкістю 380 m/s, влучає в стрижень на 1,48 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільший кут φ відхилення стрижня від вертикалі.

M = 7,5 kgL = 1,7 mm = 40 gv = 380 m/sd = 1,48 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 108 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 2 mm і передаточним відношенням 3,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₂ має мати колесо?

a = 108 mmm = 2 mmi = 3,5

N₂ =

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (40 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 1450 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (25 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (60 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 1450 rpmA = 40B = 80C = 25D = 60

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,5 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,4 kg на пружині з k = 380 N/m відтягують на 8 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 3,4 kgk = 380 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 12 kg на пружині жорсткістю 10 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 12 kgk = 10 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 20 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 80 kN/m і k₂ = 15 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 106,3 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,3 = 36,11 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·5,5) = 70,15 m

Разом

d = 36,11 + 70,15 = 106,3 m

Відповідь

d = 106,3 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,159 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,159 s

Відповідь

t = 3,159 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2007

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 10,5²/(2·28) = 1,969 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,969/9,81 = 0,2007

Відповідь

μ = 0,2007

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 17,66 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 5,886)/6 = 3,924 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·3,924 + 5,886 = 17,66 N

Відповідь

T = 17,66 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 11,24 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 65° = 5,071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 65° = 10,88 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·10,88/9,81 = 2,217 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 5,071·2,217 = 11,24 m

Відповідь

x = 11,24 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 41,77 m/s

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 34·cos 15° = 32,84 m/s

v_y0 = 34·sin 15° = 8,8 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(8,8² + 2·9,81·30) = 25,81 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(32,84² + 25,81²) = 41,77 m/s

Відповідь

v = 41,77 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 23,85 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·145) = 23,85 m/s

Відповідь

v_max = 23,85 m/s (85,87 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 60,76 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,6·9,81 + 1,6·6,5²/1,5 = 15,7 + 45,07 = 60,76 N

Відповідь

T = 60,76 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,006 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·4·(0,7071 − 0,35·0,7071)) = 6,006 m/s

Відповідь

v = 6,006 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,511 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 24,52 N

μ·mg·cos θ = 6,372 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (45 − 30,9)·10 = 141 J

v = √(2·141/5) = 7,511 m/s

Відповідь

v = 7,511 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 4,286 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·10 = 4,286 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·10 = 14,29 m/s

Відповідь

v′₁ = 4,286 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 240,7 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,6·(1 − cos 35°) = 0,2894 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,2894) = 2,383 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,515·2,383/0,015 = 240,7 m/s

Відповідь

v = 240,7 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 3,431 rad/s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Втрата потенціальної енергії

m·g·L/2 = 9·9,81·1,25 = 110,4 J

Момент інерції відносно шарніра

I_O = m·L²/3 = 9·2,5²/3 = 18,75 kg·m²

Енергетичний баланс

½·I_O·ω² = 110,4 → ω = √(2·110,4/18,75) = 3,431 rad/s

Відповідь

ω = 3,431 rad/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: φ = 63,14 °

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Момент інерції після удару

I = M·L²/3 + m·d² = 7,5·1,7²/3 + 0,04·1,48² = 7,313 kg·m²

Момент імпульсу відносно шарніра

Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.

m·v·d = I·ω → ω = 0,04·380·1,48/7,313 = 3,076 rad/s

Енергія під час хитання

½·I·ω² = ½·7,313·3,076² = 34,6 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 63,12·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 34,6/63,12 = 0,4518 → φ = 63,14°

Відповідь

φ = 63,14°

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₂ = 84

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/2 = 108

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 108/(1 + 3,5) = 24

N₂ = 3,5·24 = 84

Відповідь

N₂ = 84

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 302,1 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 1450·40/80 = 725 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 725·25/60 = 302,1 rpm

Відповідь

n_out = 302,1 rpm

загальне передаточне відношення = 4,8 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,457 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Відповідь

T = 2,457 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,8458 m/s

Кутова частота

ω = √(380/3,4) = 10,57 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,08·10,57 = 0,8458 m/s

Відповідь

v_max = 0,8458 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 3,281 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(10000/12) = 28,87 rad/s

f_n = 28,87/(2π) = 4,594 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,594·√(1 − 0,7²) = 3,281 Hz

Відповідь

f_d = 3,281 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 10,97 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 15 = 95 kN/m

Власна частота

ω_n = √(95000/20) = 68,92 rad/s

f_n = 68,92/(2π) = 10,97 Hz

Відповідь

f_n = 10,97 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics