Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 260 km/h, а довжина злітної смуги 1000 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 50 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 20 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 50 mv_0B = 20 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 9 kg і 3,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9 kgm₂ = 3,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4,5 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 6,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 6,5 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 40 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 31 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 12 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 31 m/sθ = 45°h_roof = 12 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 40 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 40 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,8 kg на легкій нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 8,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,8 kgr = 0,9 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1000 kg піднімається схилом 8° зі сталою швидкістю 72 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 700 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 700 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1,5 kg, що рухається зі швидкістю 4 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1300 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 20 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1200 kgd = 20 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 33 kg·m² обертається з частотою 2200 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 195 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 33 kg·m²n = 2200 rpmT_b = 195 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 10° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Його радіус — 0,2 m. Знайдіть його кутову швидкість ω після того, як він прокотиться 1 m вздовж схилу.

θ = 10°s = 1 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,2 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 5,5 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 72. ККД зубчастої пари — 98 %. Знайдіть крутний момент T₁ на валу двигуна.

P = 5,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 72η = 98%

T₁ = N·m

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 20 зубців, а кожен сателіт — 24 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 600 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 20N_p = 24n_s = 600 rpm

n_r = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,7 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 410 N/m відтягують на 5 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 0,6 kgk = 410 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 10 mm через 3 циклів іде пік 0,6 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 10 mmx₃ = 0,6 mmn = 3

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 12 kN/m, нижня — k₂ = 25 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 2,608 m/s²

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v = 260/3,6 = 72,22 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 72,22²/(2·1000) = 2,608 m/s²

Відповідь

a = 2,608 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: y = 19,34 m

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

50 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 50/20 = 2,5 s

Висота зустрічі

y = 20·2,5 − ½·9,81·2,5² = 19,34 m

Відповідь

y = 19,34 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: T = 49,44 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (9 − 3,5)·9,81/(9 + 3,5) = 4,316 m/s²

Сила натягу з рівняння для легшого вантажу

T − m₂·g = m₂·a → T = 3,5·(9,81 + 4,316) = 49,44 N

Відповідь

T = 49,44 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 40,66 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 18,66 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,001 N

Прискорення системи

a = (63,77 − 18,66 − 6,001)/11 = 3,555 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 6,5·(9,81 − 3,555) = 40,66 N

Відповідь

T = 40,66 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 104,8 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 70° = 13,68 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 70° = 37,59 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·37,59/9,81 = 7,663 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,68·7,663 = 104,8 m

Відповідь

x = 104,8 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 83,96 m

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 21,92 m/s, v_y = 21,92 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

12 = 21,92·t − 4,905·t²

t = (21,92 + √(21,92² − 2·9,81·12))/9,81 = 3,83 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 21,92·3,83 = 83,96 m

Відповідь

x = 83,96 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 12,53 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·40) = 12,53 m/s

Відповідь

v_max = 12,53 m/s (45,1 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 24,98 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·0,9 = 36,93 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,8·36,93/0,9 − 0,8·9,81 = 24,98 N

Відповідь

T_top = 24,98 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 41,31 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 700 = 2065 N

Потужність

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 2065·20 = 41306 W = 41,31 kW

Відповідь

P = 41,31 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 85,89 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,1·3) = 184,4 J

Найбільше стиснення

½kx² = 184,4 → x = √(2·184,4/500) = 0,8589 m = 85,89 cm

Відповідь

x = 85,89 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −1 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1,5 − 2,5)/(1,5 + 2,5)·4 = −1 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 2,5)·4 = 3 m/s

Відповідь

v′₁ = −1 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 34,07 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·20) = 17,72 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·17,72/1300 = 34,07 m/s

Відповідь

v₁ = 34,07 m/s

(122,7 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 714,8 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2200/60 = 230,4 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·33·230,4² = 875763 J

θ = 875763/195 = 4491 rad

Оберти

N = θ/2π = 714,8 rev

Відповідь

N = 714,8 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 7,8 rad/s

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Висота спуску

h = s·sin θ = 1·sin 10° = 0,1736 m

Енергетичний баланс для кочення

Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·0,1736/1,4) = 1,56 m/s

ω = v/r = 1,56/0,2 = 7,8 rad/s

Відповідь

ω = 7,8 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T₁ = 35,01 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Момент двигуна

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Відповідь

T₁ = 35,01 N·m

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 176,5 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·24 = 68

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·20/68 = −176,5 rpm

|n_r| = 176,5 rpm

Відповідь

n_r = 176,5 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,7181 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Відповідь

L = 0,7181 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,307 m/s

Кутова частота

ω = √(410/0,6) = 26,14 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,05·26,14 = 1,307 m/s

Відповідь

v_max = 1,307 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1476

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/3)·ln(10/0,6) = 0,9378

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9378/√(39,48 + 0,8795) = 0,1476

Відповідь

ζ = 0,1476

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,027 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8,108 kN/m

Власна частота

ω_n = √(8108/50) = 12,73 rad/s

f_n = 12,73/(2π) = 2,027 Hz

Відповідь

f_n = 2,027 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics