Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Для зльоту літаку потрібна швидкість 260 km/h, а довжина злітної смуги 2300 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?
М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 10 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.
Брусок масою 11 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.
Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 115 N тягне передній брусок масою 10 kg; брусок масою 6 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.
М’яч кидають з рівної землі під кутом 30° над горизонталлю, і він падає на відстані 135 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v0.
М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з вершини скелі висотою 10 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 140 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Кульку масою 0,4 kg на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.
Брусок масою 0,5 kg ковзає 5 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу Wf проти сили тертя.
Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 20 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.
Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 4,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 15 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.
Автомобіль масою 1100 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1300 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 6 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v1 першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.
Двигун розганяє маховик із моментом інерції 23 kg·m² зі стану спокою до 2800 rpm за 7 s. Нехтуючи втратами, знайдіть середню потужність Pavg, яку він віддає, у kW.
Однорідний тонкий стрижень масою 1,5 kg і довжиною 1,3 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 40 g, що летить горизонтально зі швидкістю 540 m/s, влучає в стрижень на 0,67 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Знайдіть кутову швидкість ω стрижня одразу після удару.
Двигун потужністю 1,1 kW із частотою 2900 rpm приводить черв’як із кількістю заходів 2. Черв’ячне колесо має 36 зубців, ККД передачі 70 %. Знайдіть вихідний обертовий момент Tw на валу колеса.
Відкритий пас з’єднує шків 150 мм і шків 300 мм, центри яких розташовані на відстані 1000 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.
Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,2 m має період 1,38 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.
Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 0,8 s і амплітудою 15 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 15 cm до зміщення 7,5 cm?
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 25 mm через один цикл іде пік 20,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 50 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.
Відповідь: a = 1,134 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: t = 3,879 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: a = 1,512 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Униз уздовж площини — додатний напрямок.
Відповідь: T = 43,13 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Відповідь: v0 = 39,11 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Відповідь: t = 3,139 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: vmax = 26,2 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: T = 8,847 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
До центра (угору) — додатний напрямок.
Відповідь: Wf = 1,879 J
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: N = 29,43 N
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.
Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.
Відповідь: v = 966,7 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: v1 = 20,5 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: Pavg = 141,2 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Відповідь: ω = 16,77 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.
Відповідь: Tw = 45,64 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Відповідь: θ = 171,4 °
Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = eμθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.
Відповідь: g = 24,88 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: t = 0,1333 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: ζ = 0,03003
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: fn = 5,877 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics