Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.
М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 11 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.
Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 2 m/s і зупиняється, пройшовши 0,51 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.
Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 8,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?
М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
М’яч кидають зі швидкістю 15 m/s під кутом 30° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.
В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,7 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.
Кульку масою 0,5 kg на нитці завдовжки 1,4 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.
Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 5 m вздовж площини.
Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 10,5 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 3 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.
Автомобіль масою 1300 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1700 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?
М’яч масою 0,6 kg ударяється об стіну зі швидкістю 13 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 10 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.
Однорідний тонкий стрижень масою 14,5 kg і довжиною 2,7 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення atip вільного кінця одразу після відпускання.
суцільна куля починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 10° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його швидкість v після того, як він прокотиться 2,5 m вздовж схилу.
Двигун потужністю 1,1 kW із частотою обертання 1500 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 40, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. ККД зубчастої пари — 96 %. Знайдіть крутний момент T1 на валу двигуна.
Двигун потужністю 11 kW із частотою 2900 rpm приводить колесо A (32 зубців), зчеплене з колесом B (72 зубців). Колесо C (50 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (72 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 96 %. Знайдіть вихідний обертовий момент Tout.
Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 190 N/m відтягують на 8 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 1 s (зі знаком).
Вантаж масою 1,4 kg на пружині з k = 360 N/m відтягують на 20 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.
Маса 5 kg спирається на пружину жорсткістю 8 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 240 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 100 kN/m, нижня — k₂ = 80 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту fn вертикальних коливань у Hz.
Відповідь: s = 15,63 m
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: t = 2,63 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.
Фізичний зміст має лише додатний корінь.
Відповідь: μ = 0,3998
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: d = 4,994 m
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.
Відповідь: t = 6,356 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: H = 32,87 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Відповідь: n = 28,39 rpm
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: T = 13,83 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
До центра (угору) — додатний напрямок.
Відповідь: v = 7,449 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.
Відповідь: N = 19,62 N
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.
Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.
Відповідь: ΔK/K = 56,67 %
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.
Відповідь: J = 13,8 N·s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: atip = 14,71 m/s²
Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.
У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.
atip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.
Відповідь: v = 2,467 m/s
Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.
Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.
Відповідь: T1 = 7,003 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: Tout = 108,2 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: v = 1,238 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: vmax = 3,207 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: ζ = 0,6
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.
Відповідь: fn = 4,745 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics