Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 45 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 19 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 25 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 190 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 25 kgF = 190 Nθ = 30°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6,5 kg на похилій площині з кутом 35° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 6 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 40 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 26 m/s під кутом 40° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 4 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 26 m/sθ = 40°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 1,6 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 1,6 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,9 kg на нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,9 kgr = 0,6 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 20 m вздовж площини.

θ = 35°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 1 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 26 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,25 kgv_in = 26 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун віддає момент 270 N·m за частоти 900 rpm. Знайдіть його вихідну потужність P у kW.

T = 270 N·mn = 900 rpm

P = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

Людина стоїть на поворотному крузі без тертя й тримає в кожній руці гантель масою 4 kg на відстані 0,75 m від осі. Людина разом із кругом має момент інерції 3,5 kg·m² відносно осі. Вони обертаються з частотою 35 rpm, потім людина підтягує гантелі до відстані 0,25 m від осі. Вважайте гантелі точковими масами. Знайдіть нову частоту n₂ в rpm.

I₀ = 3,5 kg·m²m = 2 × 4 kgr₁ = 0,75 mr₂ = 0,25 mn₁ = 35 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з 16 зубцями й модулем 2,5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 7,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У планетарній передачі сонячне колесо має 15 зубців, а кожен сателіт — 24 зубців. Водило закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 3000 rpm. Знайдіть частоту обертання n_r вінця (за модулем).

N_s = 15N_p = 24n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,7 m має період 2,75 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,7 mT = 2,75 s

g = m/s²

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 370 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 11 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 5 cm від положення рівноваги.

k = 370 N/mA = 11 cmx = 5 cm

U = J

19.Механічні коливанняСередня

Маса 8 kg на пружині жорсткістю 1 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,35. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 8 kgk = 1 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 60 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 15,63 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5) = 15,63 m

Відповідь

s = 15,63 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 23,4 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Висота над землею

h_max = 5 + 18,4 = 23,4 m

Відповідь

h_max = 23,4 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,178 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 190·sin 30° = 150,3 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 164,5 − 60,1

a = 104,4/25 = 4,178 m/s²

Відповідь

a = 4,178 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,783 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 36,57 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (58,86 − 36,57 − 0)/12,5 = 1,783 m/s²

Відповідь

a = 1,783 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 40,77 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 45° = 28,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 45° = 28,28 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 28,28²/(2·9,81) = 40,77 m

Відповідь

H = 40,77 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 62,7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 19,92 m/s, v_y = 16,71 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

4 = 16,71·t − 4,905·t²

t = (16,71 + √(16,71² − 2·9,81·4))/9,81 = 3,148 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 19,92·3,148 = 62,7 m

Відповідь

x = 62,7 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 30,53 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·1,6)) = 3,197 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 30,53 rpm

Відповідь

n = 30,53 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T = 82,76 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·4,5²/0,6 = 18,64 + 64,13 = 82,76 N

Відповідь

T = 82,76 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 12,68 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·20·(0,5736 − 0,2·0,8192)) = 12,68 m/s

Відповідь

v = 12,68 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 26,2 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(1 − 0,1·3) = 17,17 J

Найбільше стиснення

½kx² = 17,17 → x = √(2·17,17/500) = 0,262 m = 26,2 cm

Відповідь

x = 26,2 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 5,6 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 1,5)/(1 + 1,5)·7 = −1,4 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 1,5)·7 = 5,6 m/s

Відповідь

v′₂ = 5,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 1150 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(20 + 26) = 11,5 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 11,5/0,01 = 1150 N

Відповідь

F_avg = 1150 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P = 25,45 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

Потужність

P = T·ω = 270·94,25 = 25447 W = 25,45 kW

Відповідь

P = 25,45 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: n₂ = 70 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Моменти інерції

I₁ = 3,5 + 2·4·0,75² = 8 kg·m²

I₂ = 3,5 + 2·4·0,25² = 4 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 35·8/4 = 70 rpm

Відповідь

n₂ = 70 rpm

Кінетична енергія зростає: додаткова енергія береться з роботи, яку виконує людина, підтягуючи гантелі.

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 1235 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 7500/303,7 = 24,7 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·24,7/0,04 = 1235 N

Відповідь

F_t = 1235 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_r = 714,3 rpm

Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.

Зубці вінця

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·24 = 63

Формула Вілліса за нерухомого водила

При n_c = 0 сонячне колесо приводить вінець через сателіти, які працюють як паразитні колеса.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·15/63 = −714,3 rpm

|n_r| = 714,3 rpm

Відповідь

n_r = 714,3 rpm

Вінець обертається в протилежному до сонячного колеса напрямку.

17.Пружини й маятники

Відповідь: g = 8,874 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,7/2,75² = 8,874 m/s²

Відповідь

g = 8,874 m/s²

18.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,4625 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·370·0,11² = 2,239 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·370·0,05² = 0,4625 J

Відповідь

U = 0,4625 J

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,667 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(1000/8) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,35²) = 1,667 Hz

Відповідь

f_d = 1,667 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 2,757 Hz

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Власна частота

ω_n = √(15000/50) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Відповідь

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics