Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 80 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,5 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 6,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 80 km/ht_r = 0,5 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 19 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 36 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 27 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 115 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 115 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 8 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 8 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 9 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,3d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 8 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 1,5 kgh = 8 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1300 kg налітає на припаркований автомобіль масою 900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 13,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1300 kgm₂ = 900 kgd = 13,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 33 kg·m² обертається з частотою 800 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 75 N·m. Скільки часу t він зупиняється?

I = 33 kg·m²n = 800 rpmT_b = 75 N·m

t = s

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільна куля котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 15° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a його центра.

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 7,5 kW із частотою обертання 960 rpm приводить шестірню з 25 зубцями й модулем 5 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 7,5 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 5 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Двигун потужністю 1,1 kW із частотою 1440 rpm приводить колесо A (16 зубців), зчеплене з колесом B (40 зубців). Колесо C (18 зубців) на одному валу з B приводить колесо D (50 зубців) на вихідному валу. ККД кожного зачеплення 95 %. Знайдіть вихідний обертовий момент T_out.

P = 1,1 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 40C = 18D = 50η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,5 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 490 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 15 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 8 cm від положення рівноваги.

k = 490 N/mA = 15 cmx = 8 cm

U = J

19.Механічні коливанняСередня

Маса 80 kg спирається на пружину жорсткістю 20 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 1260 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 80 kgk = 20 kN/mc = 1260 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 25 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 60 kN/m і k₂ = 100 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 49,1 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 22,22·0,5 = 11,11 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·6,5) = 37,99 m

Разом

d = 11,11 + 37,99 = 49,1 m

Відповідь

d = 49,1 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,121 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−5 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 5 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·5))/9,81 = 4,121 s

Відповідь

t = 4,121 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,549 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Відповідь

a = 5,549 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 16,05 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 4,905)/5,5 = 4,459 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·4,459 + 4,905 = 16,05 N

Відповідь

T = 16,05 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 124,1 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 55° = 20,65 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 55° = 29,49 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·29,49/9,81 = 6,012 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 20,65·6,012 = 124,1 m

Відповідь

x = 124,1 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 112,1 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 20° = 25,37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 20° = 9,235 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 9,235·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,235 + √(85,28 + 1079))/9,81 = 4,42 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 25,37·4,42 = 112,1 m

Відповідь

x = 112,1 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 18,4 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·115) = 18,4 m/s

Відповідь

v_max = 18,4 m/s (66,23 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 20 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·8 = 20 m

Відповідь

h_min = 20 m

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,513 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·9·(0,5 − 0,3·0,866)) = 6,513 m/s

Відповідь

v = 6,513 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 40,84 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(5 − 0,15·5) = 83,39 J

Найбільше стиснення

½kx² = 83,39 → x = √(2·83,39/1000) = 0,4084 m = 40,84 cm

Відповідь

x = 40,84 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 236,2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,08) = 1,253 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1,5)·1,253/0,008 = 236,2 m/s

Відповідь

v = 236,2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 23,85 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·13,5) = 14,09 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·14,09/1300 = 23,85 m/s

Відповідь

v₁ = 23,85 m/s

(85,87 km/h)

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 36,86 s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·800/60 = 83,78 rad/s

Сповільнення і час

α = T_b/I = 75/33 = 2,273 rad/s²

t = ω/α = 83,78/2,273 = 36,86 s

Відповідь

t = 36,86 s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: a = 1,814 m/s²

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,4 = 1,814 m/s²

Відповідь

a = 1,814 m/s²

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 1194 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 5·25 = 125 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·74,6/0,125 = 1194 N

Відповідь

F_t = 1194 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: T_out = 45,72 N·m

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Вихідна частота обертання

n_out = 1440·(16/40)·(18/50) = 207,4 rpm

ω_out = 2π·207,4/60 = 21,71 rad/s

Вихідна потужність і обертовий момент

P_out = 1100·0,95² = 992,8 W

T_out = P_out/ω_out = 992,8/21,71 = 45,72 N·m

Відповідь

T_out = 45,72 N·m

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,419 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,5/9,81) = 1,419 s

Відповідь

T = 1,419 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: U = 1,568 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·490·0,15² = 5,513 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·490·0,08² = 1,568 J

Відповідь

U = 1,568 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,4981

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·80) = 2530 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 1260/2530 = 0,4981

Відповідь

ζ = 0,4981

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 4,681 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 60 + 100 = 160 kN/m

k_eq = 160·25/(160 + 25) = 21,62 kN/m

Власна частота

ω_n = √(21622/25) = 29,41 rad/s

f_n = 29,41/(2π) = 4,681 Hz

Відповідь

f_n = 4,681 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics