Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 36 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 6 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 5 st₂ = 6 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 18 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 18 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8,5 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 9,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 9,5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,9 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3,9 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,4 kg на легкій нитці завдовжки 1,4 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,4 kgr = 1,4 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 100 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 100 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 11 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 2 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 29 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 7 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,3 kgv_in = 29 m/sv_out = 7 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вантаж 3,5 kg висить на легкому шнурі, намотаному на шків — однорідний суцільний диск масою 12,5 kg і радіусом 0,3 m, що обертається на горизонтальній осі без тертя. Вантаж відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v вантажу після того, як він упаде на 4,5 m.

m = 3,5 kgM = 12,5 kgR = 0,3 mg = 9,81 m/s²h = 4,5 m

v = m/s

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр масою 5 kg котиться без проковзування зі швидкістю 3 m/s. Знайдіть його кінетичну енергію обертання E_rot.

m = 5 kgv = 3 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 120 мм при 2880 об/хв приводить шків 500 мм пасом із прослизанням 3 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 80 мм і шків 450 мм, центри яких розташовані на відстані 500 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 80 mmd₂ = 450 mmC = 500 mm

θ = °

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,6 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 120 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 10 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 8 cm від положення рівноваги.

k = 120 N/mA = 10 cmx = 8 cm

U = J

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 12 mm через один цикл іде пік 8,2 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 12 mmx₁ = 8,2 mmn = 1

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на пружині k₃ = 12 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 40 kN/m і k₂ = 12 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 6,667 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,5) = 6,667 m

Відповідь

s = 6,667 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 48,75 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·5 = 5 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1·5² = 12,5 m

s₂ = 5·6 = 30 m

s₃ = 5²/(2·2) = 6,25 m

Повна відстань

s = 12,5 + 30 + 6,25 = 48,75 m

Відповідь

s = 48,75 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,618 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,25·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2048) = 3,618 m/s²

Відповідь

a = 3,618 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,667 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 53,6 N

μ·m₁·g·cos θ = 9,581 N

Прискорення системи

a = (93,2 − 53,6 − 9,581)/18 = 1,667 m/s²

Відповідь

a = 1,667 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 24,52 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9,177 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·9,177/9,81 = 1,871 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,11·1,871 = 24,52 m

Відповідь

x = 24,52 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 74,49 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 20,78·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,78 + √(432 + 1177))/9,81 = 6,208 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12·6,208 = 74,49 m

Відповідь

x = 74,49 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 16,93 rpm

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·3,9)) = 1,773 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 16,93 rpm

Відповідь

n = 16,93 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 41,58 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,4 = 55,31 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,4·55,31/1,4 − 1,4·9,81 = 41,58 N

Відповідь

T_top = 41,58 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 49,16 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,8·9,81) = 49,16 m

Відповідь

d = 49,16 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,75 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,1·3,5) = 56,41 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,15) = 4,75 m/s

Відповідь

v = 4,75 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 295,3 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2)·1,469/0,01 = 295,3 m/s

Відповідь

v = 295,3 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 10,8 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(7 + 29) = 10,8 N·s

Відповідь

J = 10,8 N·s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: v = 5,63 m/s

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Вантаж і шків

брусок: m·g − T = m·a

шків: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Прискорення

a = m·g/(m + M/2) = 3,5·9,81/(3,5 + 6,25) = 3,522 m/s²

Швидкість після падіння

v = √(2·a·h) = √(2·3,522·4,5) = 5,63 m/s

Відповідь

v = 5,63 m/s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_rot = 11,25 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·5·3² = 22,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·22,5 = 11,25 J

Відповідь

E_rot = 11,25 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 670,5 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

2880·120/500 = 691,2 rpm

З прослизанням

n₂ = 691,2·0,97 = 670,5 rpm

Відповідь

n₂ = 670,5 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 136,6 °

Кут паса

asin(0,37) = 21,72°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·21,72 = 136,6°

Відповідь

θ = 136,6°

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,537 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,6/9,81) = 2,537 s

Відповідь

T = 2,537 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,384 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·120·0,1² = 0,6 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·120·0,08² = 0,384 J

Відповідь

U = 0,384 J

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,06049

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/1)·ln(12/8,2) = 0,3808

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3808/√(39,48 + 0,145) = 0,06049

Відповідь

ζ = 0,06049

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,143 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 40 + 12 = 52 kN/m

k_eq = 52·12/(52 + 12) = 9,75 kN/m

Власна частота

ω_n = √(9750/25) = 19,75 rad/s

f_n = 19,75/(2π) = 3,143 Hz

Відповідь

f_n = 3,143 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics