Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 1800 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 34 m/s² протягом 2 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 34 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 13 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 13 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 10 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 10 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 40 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 105 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 105 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 160 m має нахил полотна 25°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 160 mθ = 25°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 20 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,2. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 4,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 500 kg, що рухається зі швидкістю 18 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 500 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 500 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,2 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 2,5 kgL = 1,2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 18 kg·m² обертається з частотою 2400 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 150 N·m. Скільки часу t він зупиняється?

I = 18 kg·m²n = 2400 rpmT_b = 150 N·m

t = s

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний тонкий стрижень масою 5,5 kg і довжиною 1,4 m висить у спокої на шарнірі без тертя на верхньому кінці. Куля масою 45 g, що летить горизонтально зі швидкістю 260 m/s, влучає в стрижень на 0,86 m нижче за шарнір і застрягає в ньому. Знайдіть кутову швидкість ω стрижня одразу після удару.

M = 5,5 kgL = 1,4 mm = 45 gv = 260 m/sd = 0,86 m

ω = rad/s

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 1,5 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з 30 зубцями й модулем 3 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 1,5 kWn = 2900 rpmN₁ = 30m = 3 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (18 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (30 зубців). Колесо C (32 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 384 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 960 rpmA = 18B = 30C = 32n_out = 384 rpm

N_D =

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 480 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 4 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 1,7 kgk = 480 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,3 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 260 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 0,3 kgk = 260 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 4 циклів іде пік 2,4 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 2,4 mmn = 4

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 5 kN/m, нижня — k₂ = 20 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,68 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1800) = 1,68 m/s²

Відповідь

a = 1,68 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 303,7 m

Активна ділянка

v₁ = 34·2 = 68 m/s

h₁ = ½·34·2² = 68 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 68²/(2·9,81) = 235,7 m

h_max = 68 + 235,7 = 303,7 m

Відповідь

h_max = 303,7 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,356 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Відповідь

a = 2,356 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,7267 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 24,53)/13,5 = 0,7267 m/s²

Відповідь

a = 0,7267 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 35,31 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 30° = 17,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 30° = 10 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·10/9,81 = 2,039 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 17,32·2,039 = 35,31 m

Відповідь

x = 35,31 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 44,91 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12,26 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 40 + 12,26·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,26 + √(150,2 + 784,8))/9,81 = 4,366 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,28·4,366 = 44,91 m

Відповідь

x = 44,91 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 22,69 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·105) = 22,69 m/s

Відповідь

v_max = 22,69 m/s (81,7 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 33,96 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(160·9,81·0,6039/0,8218) = 33,96 m/s

Відповідь

v_max = 33,96 m/s

(122,3 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 147,5 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,9397 = 36,87 N

F = μN = 0,2·36,87 = 7,375 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 7,375·20 = 147,5 J

Відповідь

W_f = 147,5 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 63,61 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(4,5 − 0,15·2,5) = 202,3 J

Найбільше стиснення

½kx² = 202,3 → x = √(2·202,3/1000) = 0,6361 m = 63,61 cm

Відповідь

x = 63,61 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 50 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 500·18/1000 = 9 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·500·18² = 81000 J

K_after = ½·1000·9² = 40500 J

Втрачена частка

ΔK/K = 40500/81000 = 50 %

Відповідь

ΔK/K = 50 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 249 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 25°) = 0,1124 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1124) = 1,485 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,515·1,485/0,015 = 249 m/s

Відповідь

v = 249 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: t = 30,16 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2400/60 = 251,3 rad/s

Сповільнення і час

α = T_b/I = 150/18 = 8,333 rad/s²

t = ω/α = 251,3/8,333 = 30,16 s

Відповідь

t = 30,16 s

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ω = 2,774 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Момент інерції після удару

I = M·L²/3 + m·d² = 5,5·1,4²/3 + 0,045·0,86² = 3,627 kg·m²

Момент імпульсу відносно шарніра

Сила в шарнірі проходить через шарнір, тож під час удару не має там моменту.

m·v·d = I·ω → ω = 0,045·260·0,86/3,627 = 2,774 rad/s

Відповідь

ω = 2,774 rad/s

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 109,8 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 3·30 = 90 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·4,939/0,09 = 109,8 N

Відповідь

F_t = 109,8 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 960·18/30 = 576 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 32·576/384 = 48

Відповідь

N_D = 48

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,5821 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(480/1,7) = 16,8 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 16,8·√(0,04² − 0,02²) = 0,5821 m/s

Відповідь

v = 0,5821 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,3332 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 0,3·9,81/260 = 0,01132 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(260/0,3) = 29,44 rad/s

v_max = A·ω = 0,01132·29,44 = 0,3332 m/s

Відповідь

v_max = 0,3332 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,09999

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(30/2,4) = 0,6314

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Відповідь

ζ = 0,09999

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 4 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/20 → k_eq = 5·20/(5 + 20) = 4 kN/m

Відповідь

k_eq = 4 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics