Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 50 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 8 s, потім їде зі сталою швидкістю 30 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 8 st₂ = 30 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 22 m/s, і він має впасти на відстані 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 22 m/sR = 15 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 50°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 20 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 20 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на легкій нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 7 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,5 kgr = 0,7 mv_bottom = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 10 kg висить на легкій нитці завдовжки 1,5 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 20° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 10 kgL = 1,5 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 3 mL = 1,5 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 8 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 3 kgh = 8 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,5 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 3 kgL = 1,5 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Вал передає 63 kW за частоти 900 rpm. Знайдіть крутний момент T у валу.

P = 63 kWn = 900 rpm

T = N·m

14.Обертання твердого тілаСкладна

тонкий обруч котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 35° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменший коефіцієнт тертя спокою μ_s, який не допускає проковзування.

θ = 35°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Шків 125 мм при 720 об/хв приводить шків 300 мм пасом із прослизанням 1 %. Знайдіть частоту обертання n₂ веденого шківа.

n₁ = 720 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 300 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 2900 rpm і приводить колесо B (50 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (72 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 50C = 20D = 72

n_out = rpm

17.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,3 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 8 g, що летить зі швидкістю 200 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 0,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 600 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 8 gv = 200 m/sM = 0,5 kgk = 600 N/m

A = cm

19.Механічні коливанняСередня

Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 30 mm через 4 циклів іде пік 0,7 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 0,7 mmn = 4

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на пружині k₃ = 50 kN/m. Верх k₃ прикріплено до жорсткої балки, що висить на двох пружинах поруч, k₁ = 12 kN/m і k₂ = 50 kN/m; балка залишається горизонтальною. Знехтуйте демпфуванням і масами пружин та балки. Знайдіть власну частоту f_n вертикальних коливань у Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 16,08 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·6) = 16,08 m

Відповідь

s = 16,08 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 50 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·8 = 24 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 24/2 = 12 s

Загальний час

t = 8 + 30 + 12 = 50 s

Відповідь

t = 50 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,427 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Відповідь

a = 4,427 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 31,56 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 13,24)/10 = 4,071 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4,5·4,071 + 13,24 = 31,56 N

Відповідь

T = 31,56 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 8,85 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·15/22² = 0,304

Кут

2θ = 17,7° → θ = 8,85°

Відповідь

θ = 8,85°

Інший розв’язок 90° − θ = 81,15°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 127 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 50° = 22,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 50° = 26,81 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 26,81·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (26,81 + √(718,9 + 98,1))/9,81 = 5,647 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 22,5·5,647 = 127 m

Відповідь

x = 127 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 9,905 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·20) = 9,905 m/s

Відповідь

v_max = 9,905 m/s (35,66 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 31,43 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 7² − 4·9,81·0,7 = 21,53 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·21,53/0,7 − 1,5·9,81 = 31,43 N

Відповідь

T_top = 31,43 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 109,9 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1,5·(1 − cos 20°) = 1,775 m²/s²

Сили внизу

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·1,775/1,5 = 109,9 N

Відповідь

T = 109,9 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 109,9 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 41,25 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(3 − 0,15·1,5) = 68,06 J

Найбільше стиснення

½kx² = 68,06 → x = √(2·68,06/800) = 0,4125 m = 41,25 cm

Відповідь

x = 41,25 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 251,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,08) = 1,253 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 3)·1,253/0,015 = 251,8 m/s

Відповідь

v = 251,8 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 201,3 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,5·(1 − cos 15°) = 0,05111 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,05111) = 1,001 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,015·1,001/0,015 = 201,3 m/s

Відповідь

v = 201,3 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: T = 668,5 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

Крутний момент

T = P/ω = 63000/94,25 = 668,5 N·m

Відповідь

T = 668,5 N·m

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: μ_s = 0,3501

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 35°/2 = 2,813 m/s²

Потрібне тертя

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 35°/2 = 0,3501

Відповідь

μ_s = 0,3501

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n₂ = 297 rpm

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Частота обертання без прослизання

720·125/300 = 300 rpm

З прослизанням

n₂ = 300·0,99 = 297 rpm

Відповідь

n₂ = 297 rpm

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: n_out = 193,3 rpm

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Перший ступінь

n_B = 2900·12/50 = 696 rpm = n_C

Другий ступінь

n_out = 696·20/72 = 193,3 rpm

Відповідь

n_out = 193,3 rpm

загальне передаточне відношення = 15 : 1

17.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,099 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,3/9,81) = 1,099 s

Відповідь

T = 1,099 s

18.Пружини й маятники

Відповідь: A = 9,165 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,008·200/0,508 = 3,15 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(600/0,508) = 34,37 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 3,15/34,37 = 0,09165 m = 9,165 cm

Відповідь

A = 9,165 cm

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,1479

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмічний декремент

δ = (1/4)·ln(30/0,7) = 0,9395

Коефіцієнт демпфування

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9395/√(39,48 + 0,8826) = 0,1479

Відповідь

ζ = 0,1479

20.Механічні коливання

Відповідь: f_n = 3,745 Hz

Еквівалентна жорсткість

Паралельні лише k₁ і k₂. Ця пара з’єднана послідовно з k₃, тож об’єднуйте їх через обернені величини.

k₁₂ = 12 + 50 = 62 kN/m

k_eq = 62·50/(62 + 50) = 27,68 kN/m

Власна частота

ω_n = √(27679/50) = 23,53 rad/s

f_n = 23,53/(2π) = 3,745 Hz

Відповідь

f_n = 3,745 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics