Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.
Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 9 s, потім їде зі сталою швидкістю 10 s і нарешті гальмує з прискоренням 2,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.
Брусок масою 14 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.
Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.
М’яч кидають з рівної землі під кутом 25° над горизонталлю, і він падає на відстані 145 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v0.
М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 30 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 65 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Кульку масою 1,8 kg на легкій нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу Ttop нитки в найвищій точці.
Кулька 10 kg висить на легкій нитці завдовжки 1 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 90° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.
Брусок масою 15 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 125 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 4 m угору схилом.
Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′2 другого візка після зіткнення.
М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 11 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 19 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.
Однорідний тонкий стрижень масою 14,5 kg і довжиною 2,1 m закріплено шарнірно за один кінець і утримують горизонтально. Його відпускають зі стану спокою. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення atip вільного кінця одразу після відпускання.
суцільний циліндр починає рух зі стану спокою й котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 30° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Його радіус — 0,15 m. Знайдіть його кутову швидкість ω після того, як він прокотиться 2 m вздовж схилу.
Двигун потужністю 11 kW із частотою обертання 2900 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 80. ККД зубчастої пари — 97 %. Знайдіть вихідний крутний момент T2 на валу колеса.
У планетарній передачі сонячне колесо має 16 зубців, а кожен сателіт — 20 зубців. Вінець (коронне колесо) закріплено, а сонячне колесо обертається з частотою 1440 rpm. Знайдіть частоту обертання nc водила.
Довжина математичного маятника 1,9 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.
Вантаж масою 4 kg на пружині з k = 90 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення amax.
Під час випробування вільними коливаннями демпфованої системи маса–пружина за піком переміщення 50 mm через 3 циклів іде пік 19,5 mm. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.
Маса 10 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 12 kN/m і k₂ = 60 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
Відповідь: t = 6,667 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: t = 26,2 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: a = 3,206 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Униз уздовж площини — додатний напрямок.
Відповідь: a = 3,532 m/s²
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: v0 = 43,09 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Відповідь: t = 5,618 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: vmax = 22,59 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: Ttop = 20,01 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.
Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.
Відповідь: T = 294,3 N
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.
Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 294,3 N.
Відповідь: v = 3,487 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: v′2 = 16,5 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: J = 15 N·s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
У момент відпускання ω = 0, тож доцентрового прискорення немає, і центр прискорюється строго вниз.
atip = 1,5·g для будь-якої довжини: вільний кінець падає швидше за кинутий камінь.
Відповідь: ω = 24,11 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Кочення без проковзування: ω = v/r, а тертя в точці контакту роботи не виконує.
Відповідь: T2 = 156,2 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: nc = 320 rpm
Планетарні передачі: частоти обертання сонячного колеса, вінця й водила пов’язані формулою Вілліса (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: відносно водила це звичайна передача, у якій сателіти є паразитними колесами. Якщо закріпити одну ланку, передача стає редуктором з одним передаточним відношенням.
Підставте nr = 0 і знайдіть частоту обертання водила.
Водило обертається в тому самому напрямку, що й сонячне колесо.
Відповідь: T = 2,765 s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: amax = 2,7 m/s²
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: ζ = 0,04989
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: keq = 72 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics