Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3 m/s². Знайдіть його швидкість v через 800 m.

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 12 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 35 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 15° над горизонталлю із силою 130 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 35 kgF = 130 Nθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 15° зі швидкістю 10,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 10,5 m/sθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 22 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 27 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 27 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,4 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 25° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 1,4 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 11 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,2d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 19 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 3 kgh = 19 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1700 kg, що їде на схід зі швидкістю 17 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 800 kg, що їде на північ зі швидкістю 24 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть швидкість v′ уламків одразу після зіткнення.

m₁ = 1700 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 13,5 kg·m² обертається з частотою 2000 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 130 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 13,5 kg·m²n = 2000 rpmT_b = 130 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр котиться без проковзування по схилу, нахиленому під кутом 40° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a його центра.

θ = 40°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Пас іде на ведучому шківі 160 мм при 1500 об/хв. Натяг становить 800 Н на ведучій гілці та 240 Н на веденій. Знайдіть передавану потужність P у кВт.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 800 NT₂ = 240 N

P = kW

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 80 мм і шків 315 мм, центри яких розташовані на відстані 1200 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 80 mmd₂ = 315 mmC = 1200 mm

θ = °

17.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,9 m має період 1,74 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,9 mT = 1,74 s

g = m/s²

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,2 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 380 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 0,2 kgk = 380 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg на пружині жорсткістю 20 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,5. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 150 kgk = 20 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 50 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 10 kN/m і k₂ = 20 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 69,28 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3·800) = 69,28 m/s

Відповідь

v = 69,28 m/s

(249,4 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,982 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,982 s

Відповідь

t = 3,982 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,818 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 130·sin 15° = 309,7 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 125,6 − 61,94

a = 63,63/35 = 1,818 m/s²

Відповідь

a = 1,818 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 12,43 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 15° + 0,2·cos 15°) = 4,434 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 10,5²/(2·4,434) = 12,43 m

Відповідь

d = 12,43 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 49,34 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 45° = 15,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 45° = 15,56 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·15,56/9,81 = 3,172 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 15,56·3,172 = 49,34 m

Відповідь

x = 49,34 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 72,87 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 27·sin 60° = 23,38 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 23,38²/(2·9,81) = 27,87 m

Висота над землею

H = 45 + 27,87 = 72,87 m

Відповідь

H = 72,87 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 1,645 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,4·sin 25° = 0,5917 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5917·9,81·tan 25°) = 1,645 m/s

Відповідь

v = 1,645 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,431 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Відповідь

v_min = 3,431 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 11,05 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,7071 − 0,2·0,7071)) = 11,05 m/s

Відповідь

v = 11,05 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,943 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(2 − 0,2·1) = 8,829 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,8) = 5,943 m/s

Відповідь

v = 5,943 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 726 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,19) = 1,931 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 3)·1,931/0,008 = 726 m/s

Відповідь

v = 726 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′ = 13,88 m/s

Складові імпульсу

p_x = 1700·17 = 28900 kg·m/s

p_y = 800·24 = 19200 kg·m/s

Швидкість уламків

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 34697/2500 = 13,88 m/s

Відповідь

v′ = 13,88 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 362,5 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·13,5·209,4² = 296088 J

θ = 296088/130 = 2278 rad

Оберти

N = θ/2π = 362,5 rev

Відповідь

N = 362,5 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: a = 4,204 m/s²

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Рівняння руху

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Прискорення

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/1,5 = 4,204 m/s²

Відповідь

a = 4,204 m/s²

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: P = 7,037 kW

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Швидкість паса

v = 12,57 m/s

Потужність

P = (800 − 240)·12,57 = 7037 W = 7,037 kW

Відповідь

P = 7,037 kW

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 168,8 °

Кут паса

asin(0,09792) = 5,619°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·5,619 = 168,8°

Відповідь

θ = 168,8°

17.Пружини й маятники

Відповідь: g = 24,78 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/1,74² = 24,78 m/s²

Відповідь

g = 24,78 m/s²

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,2251 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 0,2·9,81/380 = 0,005163 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(380/0,2) = 43,59 rad/s

v_max = A·ω = 0,005163·43,59 = 0,2251 m/s

Відповідь

v_max = 0,2251 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 1,592 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(20000/150) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,5²) = 1,592 Hz

Відповідь

f_d = 1,592 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 30 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 20 = 30 kN/m

Відповідь

k_eq = 30 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics