Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 108 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 108 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 15 m/s з краю даху на висоті 25 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 5 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 20° зі швидкістю 4 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 4 m/sθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 70° над горизонталлю, і він падає на відстані 110 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 70°R = 110 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 35 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 20 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 60°h = 20 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 220 m має нахил полотна 12°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 220 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,2 kg на легкій нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,2 kgr = 1,3 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 200 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 6 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,05 kgk = 200 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 5,3 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 1,5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 2 kgh = 5,3 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 7 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 36 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 3 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 57 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 4 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 7 kgu = 36 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 57 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,8 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 10° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 2,5 kgL = 1,8 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Обертання твердого тілаСередня

Маховик із моментом інерції 38 kg·m² обертається з частотою 500 rpm. Гальмо створює сталий момент тертя 195 N·m. Скільки обертів N зробить маховик до зупинки?

I = 38 kg·m²n = 500 rpmT_b = 195 N·m

N = rev

14.Обертання твердого тілаСкладна

суцільний циліндр масою 8 kg котиться без проковзування зі швидкістю 1,5 m/s. Знайдіть його кінетичну енергію обертання E_rot.

m = 8 kgv = 1,5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Два паралельні вали розташовані на відстані 105 mm. Їх треба з’єднати парою циліндричних прямозубих коліс із модулем 2,5 mm і передаточним відношенням 2,5 : 1 (знижувальна передача). Скільки зубців N₁ має мати шестірня?

a = 105 mmm = 2,5 mmi = 2,5

N₁ =

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

Відкритий пас з’єднує шків 80 мм і шків 250 мм, центри яких розташовані на відстані 800 мм. Знайдіть кут обхвату θ на меншому шківі в градусах.

d₁ = 80 mmd₂ = 250 mmC = 800 mm

θ = °

17.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 160 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.

m = 2,5 kgk = 160 N/mA = 8 cmx = 5 cm

v = m/s

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,7 kg на пружині з k = 480 N/m відтягують на 5 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 3,7 kgk = 480 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

19.Механічні коливанняСередня

Маса 150 kg на пружині жорсткістю 200 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань f_d у Hz.

m = 150 kgk = 200 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 25 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 20 kN/m і k₂ = 5 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 150 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3) = 150 m

Відповідь

s = 150 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,256 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−25 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 25 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,256 s

Відповідь

t = 4,256 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,549 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Відповідь

a = 5,549 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 1,688 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 20° + 0,15·cos 20°) = 4,738 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·4,738) = 1,688 m

Відповідь

d = 1,688 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 40,97 m/s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·110/sin 140°) = 40,97 m/s

Відповідь

v₀ = 40,97 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 40,22 m/s

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 35·cos 60° = 17,5 m/s

v_y0 = 35·sin 60° = 30,31 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(30,31² + 2·9,81·20) = 36,21 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(17,5² + 36,21²) = 40,22 m/s

Відповідь

v = 40,22 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v = 21,42 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(220·9,81·tan 12°) = 21,42 m/s

Відповідь

v = 21,42 m/s

(77,11 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 15,91 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,3 = 29,99 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,2·29,99/1,3 − 1,2·9,81 = 15,91 N

Відповідь

T_top = 15,91 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,7339 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·200·0,06² = 0,36 J

Висота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0,36/0,4905 = 0,7339 m

Відповідь

h = 0,7339 m

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 40,55 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(5,3 − 3) = 45,13 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·45,13/1,5 − 19,62 = 40,55 N

Відповідь

N = 40,55 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 20,25 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Імпульс до удару

p = M·u = 7·36 = 252 kg·m/s

Імпульс після удару

252 = 3·57 + 4·v′₂

v′₂ = (252 − 171)/4 = 20,25 m/s

Відповідь

v′₂ = 20,25 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 92,29 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 10°) = 0,02735 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,02735) = 0,7325 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,52·0,7325/0,02 = 92,29 m/s

Відповідь

v = 92,29 m/s

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: N = 42,51 rev

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

Робота гальма дорівнює кінетичній енергії

½·I·ω² = ½·38·52,36² = 52090 J

θ = 52090/195 = 267,1 rad

Оберти

N = θ/2π = 42,51 rev

Відповідь

N = 42,51 rev

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: E_rot = 4,5 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Поступальна частина й частина обертання

E_trans = ½·m·v² = ½·8·1,5² = 9 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·9 = 4,5 J

Відповідь

E_rot = 4,5 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N₁ = 24

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Сумарна кількість зубців

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·105/2,5 = 84

Розподіл за передаточним відношенням

N₁ = 84/(1 + 2,5) = 24

Відповідь

N₁ = 24

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: θ = 167,8 °

Пасові передачі: без прослизання обидва шківи мають однакову колову швидкість обода v = π·d·n/60, тож n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточне відношення дорівнює d₂/d₁. Прослизання s робить ведений шків трохи повільнішим: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передавана потужність P = (T₁ − T₂)·v, де T₁ — натяг ведучої гілки, а T₂ — веденої. Тертя обмежує відношення натягів: T₁/T₂ = e^μθ, де θ — кут обхвату в радіанах на меншому шківі; для відкритого паса θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при міжосьовій відстані C.

Кут паса

asin(0,1062) = 6,099°

Кут обхвату

θ = 180 − 2·6,099 = 167,8°

Відповідь

θ = 167,8°

17.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,4996 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(160/2,5) = 8 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 8·√(0,08² − 0,05²) = 0,4996 m/s

Відповідь

v = 0,4996 m/s

18.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,5695 m/s

Кутова частота

ω = √(480/3,7) = 11,39 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,05·11,39 = 0,5695 m/s

Відповідь

v_max = 0,5695 m/s

19.Механічні коливання

Відповідь: f_d = 4,15 Hz

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Власна частота без демпфування

ω_n = √(200000/150) = 36,51 rad/s

f_n = 36,51/(2π) = 5,812 Hz

Частота загасаючих коливань

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,812·√(1 − 0,7²) = 4,15 Hz

Відповідь

f_d = 4,15 Hz

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 25 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 5 = 25 kN/m

Відповідь

k_eq = 25 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics