Динаміка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Обертання твердого тіла

Моменти інерції відносно G: стрижень mL²/12, диск ½mR², кільце mR², суцільна куля (2/5)mR², порожниста куля (2/3)mR²
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_G + m·d²
Радіус інерції: I = m·k²
Стрижень відносно кінця: I = mL²/3
Рівняння руху: ΣM = I·α
Швидкість у rad/s: ω = 2π·n/60
Кінетична енергія: E = ½·I·ω²
Робота й потужність: W = T·θ, P = T·ω
Кочення без проковзування: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент імпульсу: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар відносно шарніра: m·v·d = I·ω

Метод

Виберіть вісь: нерухомий шарнір або центр мас для тіл, що котяться.
Знайдіть момент інерції відносно цієї осі за стандартними результатами, застосовуючи I = I_G + m·d² для зсуненої осі.
Виберіть метод: ΣM = I·α для прискорень і сил, енергію (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для швидкостей, момент імпульсу для ударів і раптових змін.
Пов’яжіть лінійний і кутовий рух за допомогою v = ω·r та a = α·r і переведіть rpm у rad/s.

Зубчасті колеса й передачі

Зачеплення коліс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутний момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Потужність: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Багатоступенева передача: загальне передаточне відношення = добуток передаточних відношень ступенів

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Механічні коливання

Власна частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Зі статичного прогину: ω_n = √(g/δ_st)
Критичне демпфування: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коефіцієнт демпфування: ζ = c/c_c
Частота загасаючих коливань: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмічний декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Пружини паралельно: k = k₁ + k₂
Пружини послідовно: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 24 m/s² протягом 3 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 24 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 7 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 8 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 8 m/sθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 20 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 24 m/s під кутом 15° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 24 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 55 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 55 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 25,5 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 7,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 1 kgh = 25,5 mR = 7,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 30°μ = 0,3d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 1 mL = 2,5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,35 kg ударяється об стіну зі швидкістю 26 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,35 kgv_in = 26 m/sv_out = 20 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Обертання твердого тілаСередня

Двигун віддає момент 1740 N·m за частоти 300 rpm. Знайдіть його вихідну потужність P у kW.

T = 1740 N·mn = 300 rpm

P = kW

14.Обертання твердого тілаСкладна

Однорідний суцільний диск (маса 40 kg, радіус 0,5 m) вільно обертається з частотою 1100 rpm навколо вертикального вала без тертя. На нього зі стану спокою опускають тонке кільце масою 10 kg того самого радіуса, центроване на валу, і обидва тіла швидко починають обертатися разом. Яку кінетичну енергію ΔE втрачено в процесі?

M_disc = 40 kgM_ring = 10 kgR = 0,5 mn₁ = 1100 rpm

ΔE = J

15.Зубчасті колеса й передачіСередня

Двигун потужністю 15 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з 20 зубцями й модулем 3 mm. Знайдіть колову силу F_t на зубцях шестірні.

P = 15 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 3 mm

F_t = N

16.Зубчасті колеса й передачіСкладна

У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (12 зубців) на вхідному валу обертається з частотою 3000 rpm і приводить колесо B (60 зубців). Колесо C (20 зубців) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D на вихідному валу. Вихідний вал має обертатися з частотою 400 rpm. Скільки зубців N_D має мати колесо D?

n_in = 3000 rpmA = 12B = 60C = 20n_out = 400 rpm

N_D =

17.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,7 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3 kg на пружині з k = 430 N/m відтягують на 16 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 3 kgk = 430 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.Механічні коливанняСередня

Маса 5 kg спирається на пружину жорсткістю 2 kN/m і в’язкий демпфер з коефіцієнтом опору 60 N·s/m. Знайдіть коефіцієнт демпфування ζ.

m = 5 kgk = 2 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

20.Механічні коливанняСкладна

Маса 100 kg висить на двох пружинах поруч (паралельно) з жорсткостями k₁ = 80 kN/m і k₂ = 5 kN/m. Маса залишається горизонтальною. Знайдіть еквівалентну жорсткість k_eq системи пружин у kN/m.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 32,14 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3,5) = 32,14 m

Відповідь

s = 32,14 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 372,2 m

Активна ділянка

v₁ = 24·3 = 72 m/s

h₁ = ½·24·3² = 108 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 72²/(2·9,81) = 264,2 m

h_max = 108 + 264,2 = 372,2 m

Відповідь

h_max = 372,2 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,206 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Відповідь

a = 3,206 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 4,976 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 35° + 0,1·cos 35°) = 6,43 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6,43) = 4,976 m

Відповідь

d = 4,976 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 10,19 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14,14 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 14,14²/(2·9,81) = 10,19 m

Відповідь

H = 10,19 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 51,07 °

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 24·cos 15° = 23,18 m/s

v_y0 = 24·sin 15° = 6,212 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(6,212² + 2·9,81·40) = 28,69 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 28,69/23,18 → α = 51,07°

Відповідь

α = 51,07°

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 20,78 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·55) = 20,78 m/s

Відповідь

v_max = 20,78 m/s (74,79 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 76,52 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·25,5 = 500,3 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 1·500,3/7,5 + 9,81 = 76,52 N

Відповідь

N_bottom = 76,52 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 22,94 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,866 = 4,248 N

F = μN = 0,3·4,248 = 1,274 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,274·18 = 22,94 J

Відповідь

W_f = 22,94 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 5,425 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(1 − 0,25·2,5) = 7,357 J

Найбільше стиснення

½kx² = 7,357 → x = √(2·7,357/5000) = 0,05425 m = 5,425 cm

Відповідь

x = 5,425 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 3,5 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 0,5)/(3,5 + 0,5)·2 = 1,5 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 0,5)·2 = 3,5 m/s

Відповідь

v′₂ = 3,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 3220 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,35·(20 + 26) = 16,1 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 16,1/0,005 = 3220 N

Відповідь

F_avg = 3220 N

13.Обертання твердого тіла

Відповідь: P = 54,66 kW

Обертання навколо нерухомої осі: сума моментів відносно осі дорівнює I·α (ΣM = I·α), так само як ΣF = m·a для поступального руху. В енергетичній формі момент T, що повертає тіло на кут θ (у радіанах), виконує роботу T·θ, яка змінює кінетичну енергію ½·I·ω²; сила тяжіння додає або забирає m·g·Δh центра мас. Потужність дорівнює P = T·ω.

Кутова швидкість

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

Потужність

P = T·ω = 1740·31,42 = 54664 W = 54,66 kW

Відповідь

P = 54,66 kW

14.Обертання твердого тіла

Відповідь: ΔE = 11058 J

Кочення й момент імпульсу: тіло, що котиться без проковзування, має v = ω·r, тож його кінетична енергія дорівнює ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). По схилу це дає a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Коли відносно осі не діє зовнішній момент, момент імпульсу відносно цієї осі зберігається, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, навіть якщо кінетична енергія втрачається.

Моменти інерції

I₁ = ½·40·0,5² = 5 kg·m²

I₂ = 10·0,5² = 2,5 kg·m²

Збереження моменту імпульсу

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1100·5/7,5 = 733,3 rpm

Кінетична енергія до й після

E₁ = ½·5·115,2² = 33173 J

E₂ = ½·7,5·76,79² = 22115 J

ΔE = 33173 − 22115 = 11058 J

Відповідь

ΔE = 11058 J

15.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: F_t = 3316 N

Геометрія зубчастих коліс: модуль m задає розмір зуба. Колесо з N зубцями має ділильний діаметр d = m·N, два зчеплені колеса мають однаковий модуль, а міжосьова відстань a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Колова швидкість на ділильному колі v = π·d·n/60, а колова сила на зубцях випливає з обертового моменту: F_t = 2T/d.

Обертовий момент на шестірні

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Ділильний діаметр

d = m·N = 3·20 = 60 mm

Колова сила

F_t = 2T/d = 2·99,47/0,06 = 3316 N

Відповідь

F_t = 3316 N

16.Зубчасті колеса й передачі

Відповідь: N_D = 30

Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.

Частота обертання проміжного вала

n_B = n_C = 3000·12/60 = 600 rpm

Зубці колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·600/400 = 30

Відповідь

N_D = 30

17.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,7181 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Відповідь

L = 0,7181 m

18.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 22,93 m/s²

Кутова частота

ω = √(430/3) = 11,97 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,16·11,97² = 22,93 m/s²

Відповідь

a_max = 22,93 m/s²

19.Механічні коливання

Відповідь: ζ = 0,3

Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ω_n = √(k/m) у rad/s, і f_n = ω_n/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/c_c, де критичне демпфування c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критичне демпфування

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·5) = 200 N·s/m

Коефіцієнт демпфування

ζ = c/c_c = 60/200 = 0,3

Відповідь

ζ = 0,3

ζ < 1, тож система недодемпфована й коливається, поступово загасаючи.

20.Механічні коливання

Відповідь: k_eq = 85 kN/m

Еквівалентна жорсткість

Паралельні пружини мають спільний прогин, а їхні сили додаються, тож жорсткості просто додаються: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 5 = 85 kN/m

Відповідь

k_eq = 85 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics